概率统计(a) 试卷。
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一、简答题（本题共9小题，每小题4分，满分36分，答题时必须写出必要的过程或理由）
1．已知求。2．在4次重复独立试验中，事件a至少出现一次的概率为，求在一次试验中事件a出现的概率。
3．设随机变量x的分布函数为。
现在对x独立重复观察4次，求有3次落入内的概率。4．设随机变量相互独立，求。
5． 已知随机变量的可能取值为， 且， ,求的分布律。 6．设随机变量的协方差矩阵为，求。7．设总体，是x的样本，统计量。
服从分布，求参数的值和的分布的自由度。
8．从正态总体中抽取容量为的样本， 要使样本均值落在区间 （1.4, 5.4）内的概率不小于0.95, 问样本容量n应满足什么条件？
9．设是总体的样本，为常数，判断下列统计量中哪些是参数的无偏估计量。，。
二、（本题满分12分）在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.
7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘’；发出‘1’时，分别以概率0.
85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘’。
1）求收到模糊信号‘’的概率；
2）当收到模糊信号‘’时，以译成哪个信号为好？为什么？
三、（本题满分8分）设随机变量具有概率密度（），求的概率密度。
四、（本题满分12分）设二维随机变量的概率密度为。
1）求的边缘概率密度；
2）求。五、（本题满分10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，试用中心极限定理计算所抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。
六、（本题满分10分）设总体的概率密度为。
其中为未知参数。是的样本， 求参数的最大似然估计量。
七、（本题满分12分）设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标x，得到两组数据，经对其作相应运算得。
假设测定结果服从正态分布。
1）在检验水平为条件下，能否认为？
2）求的置信度为90%的置信区间，并对结果加以说明。
概率论与数理统计(a)答案及评分标准
一、简答题（本题共9小题，每小题4分，满分36分，答题时必须写出必要的过程或理由）
1．已知求。
解 2．在4次重复独立试验中，事件a至少出现一次的概率为，求在一次试验中事件a出现的概率。
解设，则。3．设随机变量x的分布函数为。
现在对x独立重复观察4次，求有3次落入内的概率。
解 设y表示对x的4次独立重复观察中事件出现的次数，则，因此。
4．设随机变量相互独立，求。
解因为相互独立，所以，从而。
5． 已知随机变量的可能取值为， 且， ,求的分布律。
解设的分布律为， 由。
, 可得关于的方程组。
解得， ,所以的分布律为。
6．设随机变量的协方差矩阵为，求。
解 7．设总体，是x的样本，统计量。
服从分布，求参数的值和的分布的自由度。
解由，得。且相互独立，即。
且相互独立。于是。
且相互独立。所以当时，该分布的自由度为2。
8．从正态总体中抽取容量为的样本， 要使样本均值落在区间 （1.4, 5.4）内的概率不小于0.95, 问样本容量n应满足什么条件？
解， 从而有。
由此得， 即， 所以至少取35.
9．设是总体的样本，为常数，判断下列统计量中哪些是参数的无偏估计量。，。
解由，得，，所以。
因此 ，，都是参数的无偏估计量。
二、（本题满分12分）在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.
7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘’；发出‘1’时，分别以概率0.
85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘’。
1）求收到模糊信号‘’的概率；
2）当收到模糊信号‘’时，以译成哪个信号为好？为什么？
解设=“发出信号”， 收到信号”。由题意知。
1）由全概率公式得。
4分。2分。
2）由贝叶斯公式得。
3分。3分。
三、（本题满分8分）设随机变量具有概率密度（），求的概率密度。
解先求的分布函数。由于，故。
当时，当时，有。
4分。于是得的概率密度为。
4分。四、（本题满分12分）设二维随机变量的概率密度为。
1）求的边缘概率密度；
2）求。解 （1）的边缘概率密度分别为。
3分。3分。
3分。3分。
五、（本题满分10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，试用中心极限定理计算所抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。
解设x为所抽取的产品中次品数，由题意知 ，所求概率为，由中心极限定理，得3分。
4分。3分。
六、（本题满分10分）设总体的概率密度为。
其中为未知参数。是的样本， 求参数的最大似然估计量。
解设为的样本值， 则似然函数。
4分。取对数得。
令。 3分。
解得。 所以的最大似然估计量为 3分。
七、（本题满分12分）设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标x，得到两组数据，经对其作相应运算得。
假设测定结果服从正态分布。
1）在检验水平为条件下，能否认为？
2）求的置信度为90%的置信区间，并对结果加以说明。
解 (1) 检验假设2分。
拒绝域为 2分。
由条件知。查表得 ，
显然 接受原假设，故可认为，即认为两总体方差相等，也就是两厂生产的产品的指标x的方差无显著性差异3分。
2) 求的置信区间。 由(1)知，但其值未知，故的置信区间为。
2分。计算
查表 故的90%置信区间为。
3分。因为此区间包含0，故可以认为两总体均值差为0，即两个厂家生产的产品性能指标x无显著差异。
概率统计试题
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