浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷。
以下1至10题每题6分，11至14题每题10分，解题时应写出必要的解答过程。
1、设，求．
2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求．
3、设是由参数方程所确定，求．
4、计算定积分求．
5、计算反常积分．
6、求极限．
7、求极限． ．
8、求极限．
9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域．
10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间．
11、求不定积分．
12、设在区间上为正值的连续函数，试证明：
（i）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积．
ii）若增设可导且，则（i）中的是唯一的．
13、设在区间内可导，并设，．
（i）求，（）
ii）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标．
14、设．i）计算，并证明，（）
ii）证明级数条件收敛．
浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷答案。
1、设，求．
解：．2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求．
解：，．3、设是由参数方程，所确定，求．
解： ，4、计算定积分求．
解： （其中为偶函数，为奇函数）
（令）5、计算反常积分．解：
或，令。6、求极限．
解： （注：分母）
注：分子）7、求极限． 解。注：）
洛必达法则）
注：）8、求极限．
解： （令）
9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域．
解：因为，所以收敛半径，当时，即当时，级数绝对收敛， 收敛区间为：，当时，级数为收敛；
当时，级数为发散， 收敛域为：，10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间．
解：，其中。
（）所以，
11、求不定积分．
解： （注：）
12、设在区间上为正值的连续函数，试证明：
（i）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积．
ii）若增设可导且，则（i）中的是唯一的．
证：（i）由题意要证，存在，使，为此，作辅助函数：，有，且在区间上连续，由连续函数的介值定理，存在，，即，因此，（i）成立．
ii）由于，所以在区间上严格单调增，即在区间内至多一个零点，所以（i）中的是唯一的．
13、设在区间内可导，并设，
（i）求，当时；
ii）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标．
解：（i）当时，
ii）求，由于，所以，当时， ，曲线向上凹；
当时，，曲线向下凹（凸）；
当时， ，且，曲线有拐点．
14、设．i）计算，并证明，当时；
ii）证明级数条件收敛．
解：（i）由于，当时，所以，数列，正项，且单调减少，则有，， 从而有 ，于是，即．
ii） 由于 ，由比较判别法，级数发散，而交错级数满足莱布尼茨定理的条件：单调减少，且，由夹逼定理，，所以收敛，
即，条件收敛．
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