数学模型试题（二）解答。
一、（病床绕拐角问题）
解：如图，延长ab与mf的延长线交于d，与mg的延长线交于c.
设∠bcg=θ，则易知∠bon=∠afd=
adl=θ,等价于。
若令，则。即知方程在内有实根。用二分法找得。
二、（追线问题）
解选取走私船逃跑方向为y轴方向，辑私舰在b(c,0)位置时发现走私船在(0,0)处，显然辑私舰、走私船的大小比它们运动的范围小得多，可视为两个质点。设在辑私舰发现走私船时算起的时间为t,走私船到达a=(0,at)点，辑私舰到d=(x,y),因直线da与路线相切，由几何关系得。
对x求导。
辑私舰的速度，且，从而。
结合(2)与(3)，并记k=a/b, 则追线的模型为。
若记p=dy/dx, 则(4)化为。
解得。从而。
1) a (6)
当辑私舰追上走私船时，d与a重合。
2) a=b时，k=1, (5)解得。
即辑私舰追不上走私船。
3) a>b时，辑私舰更加追不上走私船。
三、（设厂问题）
解：合作可省钱→把省钱视作获利→计算获利的分配→导出费用的分担。
以下分别计算与比较各方案的效益。
5)a与c合作，在c处建厂。
投资=a与c分别建厂的投资。
小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0
因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益)
6)b与c合作，在c处建厂。
投资。比分别建厂节省。
7)a,b,c合作建厂在c处。
投资 比各自建厂节省。
综合上述可知，最佳方案(节省最多)的方案是。
三城合作建一厂，共节省630.2(千元)，这合作的获利如何分配呢？现把节省的钱作为获利，则。
从而三城投资的分担分别是。
四、（处理废物问题）
解：设y表示在时刻t下降到的深度，则圆桶下落时的速度：
加速度： 则圆桶下落时所受重力为w=mg;合力为
由牛顿运动第二定律
于是可得反映y与v的关系的微分方程初值问题：
记， ，则p，q为常数。
把以上模型分离变量得：
两边求不定积分得。
把已知数据代入并注意m/s2,得p = 1.0958, q = 0.004875
当v=12m/s时，由(4)式算出y=68.256m，又由（2）可知，dv/dy≥0,即y是v的递增函数，如图。
故可知当y=90m时，v=13.744m/s>12m/s,即把圆桶扔到90m 深处，会有被撞破的危险。
五、（狼追兔子问题）
解在追线模型中，兔子速度为a, 饿狼速度为b=2a, 初始狼兔距离c=100, 兔子跑回洞穴的时间为， 饿狼追上兔子的时间为，即在饿狼追上兔子前，兔子已经跑回洞穴。
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