“专升本”模拟试题二（解答）
课程名称：《高等数学》(理工类考试时间120分钟。
一、单项选择题(8个小题，每小题3分，共24分)
1. =c 】√
a) 0； (b)； c)； d)；
2．设函数在可导，则【 a 】
a)；(b)，；c)，；d)为任意常数，；
解： ，由于在处可导，则在处连续。
因此，从而。
由于在处可导，则。
从而。应选b
3．已知的一个原函数为，则为【 c 】
a) (b) (c) (d)
4．广义积分 【 c 】
a) 发散 (b) (c) (d)
5．函数的极小值为在【 d 】时取得。×
a) 1； (b)； c)； d)；
解：由得：
两边对求导得：
令得： 0所以： ，即。
注：此题我把题出错了，正确答案在选项中没有出现。
6．设，则在处有【 c 】
a)在不连续b)在偏导数不存在。
c)在连续且偏导数存在但不可微； (d)在可微。
7．级数 ①，中收敛的级数有：【 c 】
a) ①b) ②c) ①d
8. 行列式的值为：【 c 】
(a) 0 (b) 12 (c) -12 (d)
解： 应选b
二、填空题(5个小题，每题4分，共20分)
9．若，则 65 ；√
10．设函数由参数方程所确定，则= (t^2+1)^2/2(1-t^2) ；解：
解： 12. 曲线在点的切线方程是： (x-2)/3=(y-1)/0=(z-3)/4
解 ：令，
所以可取 所以可取
直线的方向向量可取：
所求切线方程为：
13．以为通解的微分方程是： y’=(4/x)y
解： 一阶线性齐次方程的解为：
观察此题可知，应为一阶线性齐次方程的解。
此处， 即，
从而。所以，
微分方程为：
三、计算证明题(7个小题，每题8分，共56分，要求有必要的解题步骤)
14．过点作平面的垂线，求点到平面的距离；
t= -5/6 交点坐标(1/3,-11/6,23/6) d=5/√6 ×
解过点作平面垂线，垂线方程为。
下面求平面与其垂线交点，的长就是到平面的距离。
将垂线方程转化参数式，联合平面方程得。
即．将代入的参数方程中得：，，
即点坐标为．
点到的距离．
计算二重积分：；其中积分区域由直线、、及轴所围成．
解： 积分区域如右图。
积分区域用不等式组可表示为。
16. 求微分方程的通解：；
r1=3,r2= -1 y=c1e^3x+c2e^-x
…y1*=ax·e^x (y1*)’ae^x-ax·e^x (y1*)’ax·e^x
代入方程y’’-2y’-3y=x·e^x
ax·e^x - 2ae^x +2ax·e^x - 3ax·e^x = axe^x
化简得 - 2ae^x = ax·e^x
…y2*=cx^2·e^3x (y1*)’2cx·e^3x - cx^2·e^3x (y1*)’2ce^3x-4cx·e^3x+cx^2·e^3x
代入方程y’’-2y’-3y=e^3x
2ce^3x-4cx·e^3x+cx^2·e^3x - 4cx·e^3x +2cx^2·e^3x - 3cx^2·e^3x = e^3x
化简得（2c - 8cx)e^3x = e^3x
求出来的式子里面有x？
解：对应齐次方程的特征方程为。
特征根， 所以， 对应齐次方程通解为：.
原方程变为：
现分别求方程和的一个特解。
对于方程，由于这里不是特征根，可设其特解为。
则， 将、、代入方程得。
化简得。比较系数得，从而，
方程的一个特解为。
对于方程，由于这里是特征根，可设其特解为。
则。将、、代入方程得。
化简得。比较系数得，从而。
方程，的一个特解为。
故方程，的特解为。
因此原方程组的通解为：
17. 求级数的和函数；
收敛区间[- 1,1] 令s(x)=1·x^2+2·x^4+3·x^6+……n·x^2n+……
s’(x)=1·2x+2·4x^3+3·6x^5+……n·2nx^2n-1
解： 级数，令，所以。
18. 当参数为何值时，非齐次方程组有解？当它有解时，求出通解。
a= -1有解特解=（1/2 ,-1/2 ,0) 基础解系=（-5/2 ,-3/2 ,1)
通解=（1/2 ,-1/2 ,0)+k（-5/2 ,-3/2 ,1) 再化简……
解： 当，即时，系数矩阵与增广矩阵的秩相等。
所以当时，原方程组有解。此时。
简化后的阶梯形矩阵对应的方程组为。
即， 这里为自由未知量。
取得，；得原非齐次方程组的一个特解：
简化后的阶梯形矩阵对应的齐次方程组为这里为自由未知量。
取得，；于是得到对应齐次方程组的一个基础解系：
因此所给原非齐次方程的通解为：
其中为任意常数。
19．证明不等式 （，为正整数）。
设f(x)=1+x/n -(1+x)^(1/n) f’(x)=1/n - 1/n)·(1+x)(1/n-1)
令f’(x)=0 即0=1/n - 1/n)·(1+x)(1/n-1)
0=(1/n)·【1- (1+x)(1/n-1)】 1=(1+x)(1/n-1)
证明：设 （）
当时，，从而，因此。
在时是单调递增的。
从而，从而，所以。
20. 计算由两个椭圆抛物面与所围成立体的体积。
x,y的范围是什么啊，怎么找约束条件？
解： 作空间立体示意图。
由两曲面交线，关于坐标面的投影柱面方程；空间立体在坐标面的投影就是积分区域（如图（））
在平面极坐标系下用不等式组表示为．
所求立体的体积可以看作以为曲顶、以区域为底的曲顶柱体的体积减去以为曲顶、在同一底上的曲顶柱体的体积所得，即。
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