一。 判断题（正确打√，错误打×）
1．若，则是的一个特征值。 (
解答：因为没有说明，所以错误。
2．实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩。 (
解答：因为实对称矩阵与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵使得， 而的秩等于中非零数的个数， 又因为乘以可逆矩阵后秩不改变， 所以结论正确。
3．二次型的标准型的系数是的特征值。(×
解答：只有通过适当的正交变换后，二次型的标准型的系数才是的特征值。事实上标准型有无穷多个。
4. 若线性无关且都是的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为的特征向量。 (
解答：虽然都是的特征向量，但他们不一属于的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量。
5．已知为阶矩阵，为维列向量，如果不对称，则。
不是二次型。 (
解答：对于任意的阶矩阵，都是二次型，只是若不要求。
对称，二次型中的不唯一。 例如取，那么，但取，仍得到此二次型。
二．单项选择题。
1. 若阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数，则矩阵有一个特征值为(c).
(a)； b) ；c)； d) .
解答：因为阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数，所以。
从而，所以是的一个特征值，所以是的一个特征值。
2. 若为四阶矩阵的特征多项式的三重根，则对应于的。
特征向量最多有(a)个线性无关。
(a) 3个； (b) 1个； (c) 2个； (d) 4个。
解答：对应于特征值的线性无关特征向量的个数的重数。
3. 设为阶非零矩阵，并且，那么(c) .
a)不可逆，不可逆； (b)不可逆，可逆；
(c)可逆，可逆；(d)可逆，不可逆。
解答：设为的任意一个特征值，那么是的特征值，但，所以，所以不是的特征值，所以、都可逆。
4. 若为阶实对称矩阵，且二次型正定，则下列结论不正确的是(d) .
a) 的特征值全为正；(b)的一切顺序主子式全为正；
(c)的主对角线上的元素全为正；
d) 对一切维列向量，全为正。
解答：按照正定的定义，应该是对一切维列向量，全为正。 显然时，.
注：（a）、（b）都是二次型正定的充要条件，（c）是二次型正定的必要条件，因为若记，并且取，那么。
5. 设，则在实数域上与合同的矩阵为(d).
a)；(b)； c)；(d).
解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(,那么)，所以选(d) .
方法2, 令， 那么，而。
的矩阵就是， 所以选(d) .
方法3的特征值是， 而的特征值也是， 所以两个二次型可化为同一个标准型， 所以与合同， 所以选(d) .
三。 填空题。
1. 若为正定矩阵，且，则 e .
解答：因为为正定矩阵， 所以， 并且可逆，从而，即， 所以。
2. 设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，，则的非零特征值为 1 .
解答：方法1, 而。
线性无关，所以矩阵可逆，所以。
即与相似，所以的非零特征值为1.
方法2 因为，，所以0是的一个特征值。 因为，而，所以1是的一个特征值， 而为2阶矩阵， 所以的非零特征值为1.
3. 设3阶方阵的特征值互不相同，，则的秩2 .
解答：因为的特征值互不相同，所以与对角矩阵相似，所以。
等于的特征值的个数， 因为为3阶方阵， ,所以的特征值。
是，、，所以。
4. （2011年考研题）若二次曲面的方程经过正交变换化为，则 1 .
解答：二次型的矩阵，由于二次曲面的方程经过正交变换化为，所以的特征值为0，1，4；所以，解得。
5.设方阵与对角矩阵相似，则实数。
4 ； 5 .(书上例题)
6. 二次型的正惯性指数为。
解答：,而行列式，所以正惯性指数为2.
或者求出该二次型矩阵的特征值也可。
7. 设3阶矩阵的特征值为，则 3 .
解答：因为的特征值为， 所以的特征值为， 所以的特征值为， 所以。
四。 计算题。
1.求矩阵的特征值与特征向量。
解答： ,所以特征值为， .对于，求得特征向量为，对于，求得特征向量为， 其中是不为零的任意常数。
3.设与对角阵相似，求和应满足的条件。
解答：容易求得的特征值为，，因为与对角阵相似当且仅当有3个线性无关的特征向量，所以对应于，应该有两个线性无关的特征向量，所以，即，而， 所以。
4.(2011年考研题)，设为三阶实对称矩阵，的秩为2，且。
1）求的特征值与特征向量；
2）求矩阵。
解答：1） 记，那么，且是秩为2的三阶矩阵，所以的特征值分别为，，.
对应于，特征向量为，；
对应于，特征向量为，；
对应于，设特征向量为，那么，所以全体特征向量为，.
2）求矩阵。
5．已知二次型的秩为2,1）求参数及此二次型对应矩阵的特征值；
2）指出方程表示何种曲面。
解答：二次型的矩阵。
因为。所以。 于是。
所以的特征值为， 于是二次型通过正交变换化为， 所以表示椭圆柱面。
6.(2012年考研题)已知矩阵，二次型的秩为2，试确定常数的值并求正交变换将化为标准型。
解答：, 由于的秩为2，所以。
所以，求得特征值为，.
对应于，一个特征向量为，
对应于，一个特征向量为，对应于，一个特征向量为，所以令，并且令将化为标准型。
五。 证明题。
1.若矩阵满足，证明的特征值只能是或。
证明： 设为的任意一个特征值，那么是的特征值， 所以， 所以。
2. 已知、都是阶正交矩阵， 且， 证明。
证明： 因为， 所以，而，, 所以， 所以。
3. 若矩阵正定，证明可逆并且也正定。
证明： 因为正定，所以的特征值均大于零，所以可逆，显然也对称且特征值均大于零，所以也正定。
2019练习册三解答
一 判断题 正确打 错误打 1 的充分必要条件是 解答 如果可逆，那么，所以的充分必要条件是 如果不可逆，等式没有意义，但此时仍可以成立，例如，那么，所以 正确命题 如果可逆，则的充分必要条件是 2 矩阵不可逆 解答 因为，所以，而是三阶方阵，所以不可逆 3 如果，则 解答 如果为方阵，那么由知可逆...
2019练习册四解答
一 判断题 正确打 错误打 1.若都是的解，则是的一个解。解答 因为都是的解，所以，于是，所以是的一个解。注 设都是的解，为任意常数，则。当时，是的解 当时，是的解。2.方程组基础解系的个数等于。解答 正确定义 方程组基础解系所含解向量的个数等于 3.若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解。解答 正...
2019练习册一解答
一。判断题 正确打 错误打 1.阶行列式的展开式中含有的项数为。正确答案 解答 方法1因为含有的项的一般形式是，其中是级全排列的全体，所以共有项。方法2 由行列式展开定理。而中不再含有，而共有项，所以含有的项数是。注意 含有任何元素的项数都是。2.若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零。解答 将中...