一．判断题（正确打√，错误打×）
1. 若都是的解，则是的一个解。
解答：因为都是的解，所以，.
于是， 所以是的一个解。
注： 设都是的解，为任意常数，则。
当时，是的解；
当时，是的解。
2. 方程组基础解系的个数等于。
解答：正确定义：方程组基础解系所含解向量的个数等于
3. 若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解。
解答：正确命题：若方程组有非零解，则当方程组有解时，必有无穷多解。
反例：方程组有非零解，但方程组无解。
4.与为同解方程组。
解答：设为的解，那么，于是，所以也是的解；反之，如果为的解，那么， 记，于是，所以，所以，所以也是的解，所以。
与为同解方程组。
注： 此题也说明。
5. 方程组有无穷多个解的充分必要条件是至少有两个不同的解。
解答：如果方程组有无穷多个解，显然方程组至少有两个不同的解， 反之， 如果方程组至少有两个不同的解， 那么， 并且都是的解， 其中为任意常数， 所以有无穷多个解， 而有解， 所以有无穷多个解。
二。 单项选择题。
1. 设为阶方阵，且，是的两个不同的解向量，为任意常数，则的通解为 (c).
a）； b）； c）；（d）.
解答：因为为阶方阵， ,所以的基础解系含。
个解向量。而是的线性无关解， 所以的通解为。
2. 当(d)时，齐次线性方程组一定有非零解。
（a）； b）；（c）； d）.
解答：如果， ,所以存在非零解。
3. 方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使得，则 (a) .
a）且； （b）且；
c）且； （d）且。
解答：记， 因为， 所以，即。
都是的解， 而， 至少存在一个， 所以。
存在非零解， 所以系数行列式。
所以， 此时系数矩阵为， ,所以的基础解系含个解向量，所以线性相关，所以。
注：意味着矩阵的列向量都是方程组的解向量。
4. 设为阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，则方程组的基础解系所含向量个数为 (b) .
a）； b）； c）； d）.
解答：因为为奇异方阵，所以，又因为，中有一元素的代数余子式，即中存在非零的阶子式，所以， 所以方程组的基础解系所含向量个数为。
5. 设是的三个解向量，，，为任意常数，则的通解为 (c) .
a）（b）（c）（d）
解答：显然方程组有解，并且，所以．因此只要求出的一个非零解即可得到的通解．而， 并且， 所以的通解为， 故选（c）．
6. 已知，为三阶非零矩阵且，则 (c) .
a）当时的秩必为1；（b）当时的秩必为2；
c）当时的秩必为1；（d）当时的秩必为2.
解答：表明的列都是方程组的解，当时，，所以，即，而，即，所以。
三．填空题。
1. 设四阶方阵且，则方程组的一个解向量为。
解答：因为 ，所以方程组的一个解向量．
2. 方程的通解为。
解答：因为系数矩阵， 所以，，因此，显然是的一个特解，所以的通解为。
或者简单地：方程的通解为。
其中为任意实数．
3. 设方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 .
解答：因为方程组有解，所以，
所以．或者因为方程组有解，所以向量可由。
的列向量线性表示，所以．
4. 已知是3阶矩阵，，若的每行元素和都是零，则方程组的通解为．
解答：因为是3阶矩阵，, 所以．又因为的每行元素和都是零， 所以， 于是方程组的通解为．
5. 已知方程组无解，则 -1 .
解答：由于。
所以当。时方程组有唯一解；
6.设是矩阵，且的秩为3，若为非齐次线性方程组的两个不同的解，则它的通解为。
解答：由于为的两个不同的解，所以是的非零解，而，所以是的通解，所以是的通解。
四。 计算题。
1.求齐次线性方程组的一个基础解系。
解答：方程组的系数矩阵，所以所以一个基础解系为，.
2. 解齐次线性方程组。
解答：因为方程组系数矩阵，所以。
3. 求方程组与的非零公共解。
解答：构造方程组，因为方程组系数矩阵。
所以两个方程组的非零公共解，其中。
4.求解线性方程组。
解答：,所以，所以。
5. 解矩阵方程。
解答：设，由得到两个方程组。
及，注意到两个方程组的系数矩阵一样，所以记。
所以。的通解为；
的通解为。所以，其中是任意常数。
6.设，，，如果是的一个解，求的通解。
解答：因为是的一个解，所以，所以。
所以，当时，所以，所以；
当时，所以，所以。
7. 已知，，，讨论当为何值时：
（1）可由线性表示，且表示法唯一；
（2）可由线性表示，但表示法不唯一，并给出表示式；
（3）不能由线性表示。
解答：考虑方程组，因为。
所以当时，可由线性表示，且表示法唯一。
当时，方程组变为，通解为，所以。
其中为任意实数。
当时，增广矩阵为。
增广矩阵的秩为3，系数矩阵的秩为2，所以不能由线性表示。
8. 设，. 已知线性方程组存在两个不同的解，（1）求；（2）求方程组的通解。
解答：因为方程组存在两个不同的解，所以，所以。
当时，，方程组无解；
所以时无解；当时。
所以当时有无穷多解，通解为，即。
9.线性方程组当为何值时，无解、有唯一解、有无穷多解？并在有有无穷多解时求解。
解答：,所以当且时，方程组有唯一解；
当时，所以当时无解，当时，，通解为；
当时，所以当时无解，当时，，通解为。
综合得到：1） 当且时，方程组有唯一解；
2） 当且，或者且，方程组无解；
3） 当且，或者且，方程组有无穷多解，通解分别为及。
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