一．判断题（正确打√，错误打×）
1．的充分必要条件是．（×
解答：如果可逆， 那么，所以的充分必要条件是．
如果不可逆， 等式没有意义， 但此时仍可以成立， 例如， ,那么， 所以．
正确命题： 如果可逆， 则的充分必要条件是．
2．矩阵不可逆．（√
解答：因为， 所以， 而是三阶方阵，所以不可逆．
3．如果，则．（×
解答：如果为方阵，那么由知可逆，从而．
如果不是方阵，则没有意义．
注：不是方阵，但的情况是存在的，例如：
如果， 由知，所以的秩都必须至少是2, 等式才有可能成立．
4．若为阶非零矩阵，并且则．（√
解答：因为如果，那么可逆，于是由知，这与为非零矩阵矛盾！时同理可证， 所以．
5．若为阶可逆矩阵，并且的每行元素之和全为常数，则的每行元素之和全为．（√
解答：由于为可逆矩阵，所以．又因为的每行元素之和全为常数， 所以。
从而，所以的每行元素之和全为．
二．单项选择题。
1． 若为阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（d）．
（a）； b）；
（c）； d）．
解答：（a），（b），（c）都是公式，要记住，而．
2．均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（a）．
（ab）；
（c）； d）．
解答：因为，所以（b）不正确．
因为不一定可交换，所以（c）不正确，而．
3．设，那么必满足 （d）．
（a） 三阶子式全为零；（b）至少有一个四阶子式不为零；
（c）二阶子式全为零； （d）至少有一个二阶子式不为零．
4．若都是维非零列向量，矩阵，则的秩为（b）．
（a）； b）； c）； d）．
解答：因为都是维非零列向量，所以，所以。
5．设为非零矩阵，且，则必有（a）．
（a）的列向量线性相关，的行向量线性相关；
b）的列向量线性相关，的列向量线性相关；
c）的行向量线性相关，的行向量线性相关；
d）的行向量线性相关，的列向量线性相关．
解答：因为，即，因为为非零矩阵，所以存在不全为零的数使得，所以的列向量线性相关，进一步，由。
知，同理可得的行向量线性相关， 所以选（a）．
三．填空题。
1．若，，那么．
解答：是交换两行或两列的初等矩阵， 所以得此结论．
2．设为三阶矩阵，, 则．
解答：因为，所以。
3．已知是一个多项式，，则 ．
解答：注意到对角矩阵的和还是对角矩阵， 对角矩阵乘以常数还是对角矩阵， 并且， 设， 按照的定义， 代入即可。
.已知均为阶矩阵，并且，是单位矩阵，
那么． 解答：因为，所以，又因为得，所以，所以。
5．若是3维列向量，，则 3 ．
解答：方法一： 设， ,所以．
方法二： 记，那么。
所以是中的元素，所以．
方法三：，所以．
四．计算题。
1.已知，，计算。
解答：如果记，那么。
所以当时。2．设矩阵，求．
解答：方法一由，
归纳出。设数列，，，求通项：
因为，所以）
证明当时，因为，所以结论成立；
假设当时结论成立，即；
当时，所以结论成立．
方法二 ，而，, 所以．
3.已知，，求的伴随矩阵。
解答：，所以。
4.求的逆矩阵。
解答：设，，则，，所以。
5.求矩阵的秩。
解答： 所以。
6. 讨论参数的取值，求矩阵的秩．
解答：因为，所以。
当时，；当时，．
7.求的逆矩阵．解答：．
8.已知，解矩阵方程。
解答：因为，所以，，由于，所。
以可逆，所以。 而。
所以。9. 已知为三阶可逆矩阵，并且。 若，求．
解答：因为， 所以，所以．
10. 求向量组，，，的最大无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．
解答： 所以一个最大线性无关组为，，，并且。
五．证明题。
1.设均为阶矩阵，且满足，及， 证明．
证明因为，所以，所以。
所以，所以， 所以．当然也．
2．用矩阵的初等行变换证明向量组a：，与向量组b：，等价．
证明因为，所以向量组的秩为2，所以都是的极大无关组，所以等价．
或者由上式也可知，从而，所以等价）
3. 若为阶矩阵， 且满足， ,试证明不可逆．
证明：因为， 所以， 所以。
而，，所以，所以，所以不可逆．
4．设为3维列向量，矩阵，证明（1）；（2）若线性相关，则．
证明利用， ,得到。
若线性相关， 不妨设，于是。所以．
2019练习册四解答
一 判断题 正确打 错误打 1.若都是的解，则是的一个解。解答 因为都是的解，所以，于是，所以是的一个解。注 设都是的解，为任意常数，则。当时，是的解 当时，是的解。2.方程组基础解系的个数等于。解答 正确定义 方程组基础解系所含解向量的个数等于 3.若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解。解答 正...
2019练习册五解答
一。判断题 正确打 错误打 1 若，则是的一个特征值。解答 因为没有说明，所以错误。2 实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩。解答 因为实对称矩阵与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵使得，而的秩等于中非零数的个数，又因为乘以可逆矩阵后秩不改变，所以结论正确。3 二次型的标准型的系数是的特征值。解答 只有...
2019练习册一解答
一。判断题 正确打 错误打 1.阶行列式的展开式中含有的项数为。正确答案 解答 方法1因为含有的项的一般形式是，其中是级全排列的全体，所以共有项。方法2 由行列式展开定理。而中不再含有，而共有项，所以含有的项数是。注意 含有任何元素的项数都是。2.若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零。解答 将中...