考试形式： 闭卷考试时间： 120分钟满分： 100分一、填空题（每小题6分，共计30分）
1、设，则。
2、曲面在处的切平面为。
4、，设为极坐标变量，则。
5. 设，则。
二、计算（每小题10分，共计40分）
6. 设在上连续，且，求。
解 7. 设平面上有正方形及直线，设表示正方形位于直线左下方部分的面积，当时，则。
解当时；当时。
当时。故当时。
当时。当时
8．计算其中。
解原式。计算。
由可得。同理可得。
故。9．设函数二阶偏导数都连续且满足，作变换，求函数关于满足的方程。
解 同理可得。
故得。三、证明（每小题10分，共计30分）10证明令，其中为实数，为正整数。又对任意实数有，证明。
证明 11设在上可积，证明存在使得。
证明 （1）若，则取即可。
2）当，令。
则在上连续，且。
故存在使得即。
证明在上连续：令，其中。
因为在上可积，故在上有界不妨设对有。对有。故。
即在上连续。同理可知在上连续。）
12 设，在上连续，在内可导，，证明使得。
证明令，显然在上连续，在内可导，且。
故使得。即。
2019数学竞赛试题解答
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数学竞赛试题解答
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