温州大学数学竞赛试题(数学专业)
2009年9月)
学院班级学号姓名
考试时间120分钟)
一、选择题（共16分）
1、设，则极限（ c ）
a) ；bcd) .
2、（ a ）
abcd) .
3、设，则当时有（ a ）
ab) ；cd) .
4、设，下列命题正确的是（ c ）
a) 若数列与都收敛，则数列也收敛；
b) 若，则数列收敛；
c) 若级数与都收敛，则级数也收敛；
d) 若级数收敛，则级数收敛。
二、是非题（共16分）
1、在平面上不存在这样的四个向量：其中任意两个的和垂直于另外两个的和。 （
2、平面上坐标为整数的三点不可能构成正三角形。 （
3、在空间任意给定三条两两异面的直线，存在多条直线与给定三线都相交。 （
4、抛物线绕其对称平面上的任意一条平行于对称轴的直线旋转所形成曲面一定是旋转抛物面的一部分。
三、填空题（共16分）
1、 设为方程的根，其中，则=.
2、 实数满足。
则。3、 设有向量组。
令。 则的维数＝ 3 .
4、 若实二次型。
为正定的（为实数），则满足。
四、计算与证明(共52分)
1、(9分)设函数在点0的一个邻域内有二阶连续导数，并且，试求。
解：由条件知在点的邻域内有，由的泰勒公式得到，再由在点处泰勒公式的唯一性即得，，。
2、(8分)设是由方程所确定的隐函数。 试求：全微分，偏导数、.
解：记，，；在方程两边求微分得到，因此有，。
3、(8分)设在连续恒正，求证：.
证：设，则，所以有。
4、(9分)证明：
1）对任何自然数的子列，数列和不可能同时收敛于0；
证：由，以及立即可知（1）成立。
假定，则存在使得和都收敛于0，这与结论（1）矛盾。因此结论（2）成立。
5、（9分）设，求在有理数域上的不可约因式，并说明理由。
解：由eisenstein判别法知在有理数域上不可约，因此在有理数域上的不可约因式为。
6、（9分）设与为维欧氏空间中两个不同的向量，且，证明。
证明：把扩充为标准正交基，设。
与作内积，则。 上面式子两端平方得。显见。
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考试形式 闭卷考试时间 120分钟满分 100分一 填空题 每小题6分，共计30分 1 设，则。2 曲面在处的切平面为。4 设为极坐标变量，则。5.设，则。二 计算 每小题10分，共计40分 6.设在上连续，且，求。解 7.设平面上有正方形及直线，设表示正方形位于直线左下方部分的面积，当时，则。解当...