随机过程 试题解答

西南交通大学2006-2007学年第(一)学期考试试卷。

课程**课程名称随机过程b 考试时间 2007.1.24

一、 （14分）设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求：在时，求。

解： 5分)当时5分)

4分)二、（14分）设离散型随机变量x服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解2分)4分)

2分)2分)

所以：2分)

2分)三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。

答：1、设w(t)是一个随机过程，满足：

12分)2）w(t)是增量独立的随机过程2分)

32分)则称w(t)为维纳过程。

23分)3分)

2分)四、（14分）设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为。

试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关4分）

2） ，所以5分）

只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。（5分）

五、（14分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。

1） 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；

2） 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？

解：设分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。

1） 由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；

故，为强度的泊松过程；于是，5分）

5分）一般地，

故平均有女性顾客人 （4分）

六、（15分）设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次取球置换，令表示第次取球后坛中的黑球数。

1）是否构成马氏链，是否为齐次的，为什么？

2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。

解：的参数集为，状态集为，当x(n)的取值确定时，x(n+1)的取值完全由x(n)确定，故为马氏链，（4分）

4分）与n无关，故为齐次马氏链2分）

2）一步转移概率矩阵为。

5分）七、（15分）设是独立同分布随机变量序列，其分布律为：

1）试给出的一步转移矩阵，并画出概率转移图；

2）令，计算概率。

1）的一步转移矩阵为。

3分）转移图为4分）

(2) x(1) x(2) x(3) x(4)

由树杈图可得：

＝＋×2＋×2＋＝0.4048 （8分）

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