矩阵论试题。
一．设是欧氏空间中的一组向量，表示与的内积，令。
试证明的充要条件为向量线性无关。
证明：若，则用依次与此式作内积有：
即。此式仅有零解的充分必要条件为，故线性无关的充分必要条件为。
二．设。试估计下述值。
解： ，三．设，求和。
解 容易验证a的最小多项式为，取，1） 令，设，则有。
即 从而，于是，故。
2） （在（1）的中令即可）
四．设，试叙述的奇异分解指的是什么？并试求矩阵的奇异值分解式。
解设，的特征值为。
我们称为a的奇异值，存在m阶酉矩阵u和n阶酉矩阵v，使得。
其中），此式称为a的奇异值分解式。
当时，， 得，对于由得，故，取；对于由得，故，取，由于，，故取取，此时，取，使得与的两个列量正交，从而有。
从而。故取，因此，故。
五．设可逆，，若对某种矩阵范数有，试证：可逆。
证明： 因为我们知道，对矩阵d，当时，可逆（这是因为若不可逆，则齐次线性代数方程组有非零解，因此有，故，从而，矛盾）。因此当a可逆时，由于，而a可逆，，因而也可逆，故可逆。
六．（a）试用标准型理论求如下线性微分方程组的通解。
解：因为所以我们有。
则，对于由得，故，
对于由得，故。
对于由得，故。
令，则，从而有。
对线性微分方程组作变换有，因此，故有。
为其解。。b）求如下线性微分方程组的通解。
解：因为所以我们有。
则，容易验证a的最小多项式为，取，令，设，则有。
即 于是，故。
故 （其中是任意常数）
c）求如下线性微分方程组的通解。
解因为 ， 所以我们有。
则，容易验证a的最小多项式为，取，令，设，则有。
即 于是，故。
故其中是任意常数）
七．1求矩阵的分解。
2.求矩阵的满秩分解。
1)解 第一步可解出：，，
第二步可解出：，，
第三步可解出：
于是。2）解：因为。
所以，，可求得，于是。
八．设和是数域p上线性空间v的任意两个子空间，试证明。
都是线性空间v的子空间。
1）证明：因为，所以，即是非空的，又若，则，从而，即，令，则，所以，故是v的子空间。
2）证明：因为，所以，即是非空的，又若，则， ，因为，即。
令，则，所以，故是v的子空间。
九．向量组和都是线性空间v中的向量，试证明。
证明：因为。
所以对任何，有，，故。
从而。所以。
同理可证明。
因此证毕。十．欧氏空间中定义内积，试求。
1）基的度量矩阵；
2）利用度量矩阵乘法形式计算的内积。
解（1），
从而度量矩阵为：
而，十二．（a）证明下列向量范数的等价性（其中为任意向量）：
b）证明下列矩阵范数的等价性（其中为任意矩阵）：
a)证明： (1) 因为。
3), 因为 ,所以 , 又 ,故。
b)因为 , 而。
由于，从而。故即 十。
三、试证全体形如的数（其中为任意有理数）记为，它构成一个数域。
十。四、使用两种不同的方法证明定理：设为阶矩阵，其特征多项式为， 则就有。
十。五、设为阶实对称矩阵，其特征值为，使证明：
存在最大值和最小值，且最大值是最大值的特征值在其对应的单位向量处取到，即，最大值是最大值的特征值在其对应的单位向量处取到，即。
十。六、设，试证明，并利用此结论证明对householder矩阵（其中单位列向量）有。
证明：根据矩阵分块变换准则有。
而，故一方面有。
另一方面有。
因此。根据上述公式有。
十。七、设a是非奇异n阶方阵，试证明存在置换矩阵p，使得pa=ldu，其中l是单位下三角矩阵，d为对角矩阵，u为单位上三角矩阵（见《现代数值分析》p31-32定理4的证明）。
十。八、试述正交变换、正交矩阵、酉变换、酉矩阵、矩阵、矩阵定义。
十。九、试求矩阵的标准型，其中。
二。十、填空题(每题3分，共15分)
1． 设，则＝ [e+ ]
2．已知，并且，则矩阵幂级数。
3．设矩阵，则a的谱半径＝［
4． 设5阶复数矩阵a的特征多项式为，则[ 20 ].
二十一、（10分）设v是由函数的线性组合生成的线性空间，定义v的一个线性算子如。 求t的jordan标准形及jordan基。
证明：1.由定义。
2．计算出a的特征值为1，3
3．用最小多项式或初等因子判断jordan块形状；
4．给出a的jordan标准形；
5．写出过渡矩阵与基变换公式。
6．给出jordan基。
注：jordan基不唯一如，；等均算正确。
二。十二、设求证：.
证法一。1．算出特征多项式。
2．指出。3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在a的谱上数值相等”正确地证明结论。
证法二。1．算出特征多项式。
2．指出。3．使用归纳法或直接从多项式分解出因子从而证明结论。
证法三。1．直接计算出。
2．使用归纳法或直接从多项式分解出因子从而证明结论。
解法四、1．求出a的jordan标准形。
2．用jordan标准形计算出结论。
二。十三、对矩阵，求矩阵函数。
解：1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式。
2．设。3．列出线性方程组，其。
4．算出。二。
十四、设矩阵。
1）取何值时，可以对角化？
2）当可对角化时，求可逆矩阵使得为对角矩阵。
3）当可对角化时，求其谱分解表达式。
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