1．已知为阶未知函数矩阵，为已知的阶数字矩阵，并且，，则。
解答：， 2．如果，则 .
解答：，是列满秩矩阵， ．
解答：根据公式。
其中，4.如果，那么。
解答：，，设，则，所以。
5．矩阵的正奇异值的个数是2
解答：, 与对角矩阵酉相似，所以的正特征值的个数为2，所以矩阵的正奇异值的个数是2.
6-10题为单项选择题：
6．已知为阶矩阵，下列结论不正确的是（c）.
ab）cd）
解答： 7．已知为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则下列结论正确的是（c）.
ab）cd）
解答：, 所以。 (a) 应为。
8．已知， ,其中，则（d）.
a) 0b）
cd）解答：
9．对任意的，定义，则是上的线性变换，那么（d）.
a), b),
c), d),
解答：对于任意，令，那么，所以，所以，如果，那么，所以。
10．两个阶矩阵与相似的充分必要条件是（a）.
a)与的特征矩阵等价 (b)与的特征值相同。
c)与的特征多项式相同 (d)与的特征向量相同。
解答：(a)是充分必要条件；(b)、(c)都是必要条件；(d)是无关条件。
11. （12分）
1）已知，上的变换定义为，，其中，，.证明是上的线性变换；如果是的一个基，并且，，求线性变换在基下的矩阵。
证明 对任意的，，，那么。
所以是上的线性变换。
因为。所以线性变换在基下的矩阵为。
2）已知维线性空间上的线性变换在的某个基下的矩阵为，定义的行列式， 证明与基的选择无关。
证明 因为线性变换分别在的任意两个基下的矩阵是相似的，所以行列式相同，所以与基的选择无关。
12. （12分）中的内积。 记。
1）证明是的一个线性子空间。
证明 因为，所以；
假设，那么，所以。
所以。假设，，那么，于是，所以，所以。
所以是的一个线性子空间。
方法二直接用证明。
方法三当且仅当，所以是的一个线性子空间。
2）求的一个基及的维数。
设，那么，即，所以，由的任意性知，令，则是的一个基，
13. (10分)
1) 设，证明谱半径。
证明 由圆盘定理可知的任意一个特征值的模，而，所以是的一个特征值，所以谱半径。
2) 如果为阶可逆矩阵，证明。
证明。设，，则，所以，所以。
进而有，所以，所以。
14. （16分）设，.
1）求的全体自反减号逆。
所以。2）求的加号逆及矛盾线性方程组的极小范数最小二乘解（即最佳逼近解）.所以。
就是在）中取）
15. （10分） 已知。
(1) 求的smith标准型。
2) 求的jordan标准型。
因为的初等因子为，所以。
或者。16. （10分） 已知。
(1) 求的最小多项式。
直接验证可知，所以。
(2) 求。
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