河北科技大学2012——2013学年第1学期。
线性代数》期末考试试题(a)
一填空题 (本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置)
1. 设，其中均为2维列向量，且，则。
3.设a为4阶方阵，b为5阶方阵，且，,则。
4.若n元齐次线性方程组的基础解系含有1个解向量，则。
5.已知3阶矩阵a的特征值为1, 2, 3，则。
6.二次型的矩阵为。
二选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分)
1.设为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）
a) 若，则或 (b) 若，则或。
c) (d) 若，均可逆，则
2. 若4阶方阵a的行列式等于零，则必有( )
a) a中有1个行向量是其余行向量的线性组合。
b) a中有两行成比例。
c) a中有1列元素全为零。
d) a的列向量组线性无关。
3. 已知n阶方阵a与b相似，且， 则( )
a) ob) ec) -e (d) b
4.设是4元非齐次线性方程组的解，已知， ,c为任意常数， 则线性方程组的通解为( )
ab) cd)
5. n阶方阵a可对角化的充分必要条件是( )
a) a为实对称矩阵b) a有n个互不相同的特征值。
c) a有n个互不相同的特征向量 (d) a有n个线性无关的特征向量。
三计算题 (共50分，请将解答写在答题纸指定位置，应写出必要的计算过程)
1. (本小题10分) 设，且，求．
解因为，所以。
又 , 故。
2. (本小题10分) 计算n+1阶行列式．
解。3. (本小题15分) 已知非齐次线性方程组。
问取何值时，此方程组有解？并求出其通解．
解增广矩阵～.
当或时，，方程组有解，且有无限多解。
当时，～,通解为。
当时，～,通解为。
4. (本小题15分)设，求正交矩阵及对角阵，使得．
解， 特征值…3分。
对于，解，得；
对于，解，得。
正交单位化得。
令，则为正交矩阵，且。
四证明题 (共6分，请将证明写在答题纸指定位置，应写出主要的证明过程)
设为矩阵，为矩阵，且。证明的列向量组线性无关。
证明因为，所以。
又，故。即的列向量组线性无关。
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