线性代数期末习题测试。
一、（10分）已知矩阵。
1） 计算；2）求。
二、（10分）
1）设矩阵满足，证明的特征值只能取0或1。
2）设阶实对称矩阵满足，且的秩序为，试求行列式的值。
三、（10分）已知矩阵。
1）求的秩；
2）求的列向量组的一个极大无关组。
四、（15分）
1）求齐次线性方程组的一个基础解系；
2）取何值时，非齐次线性方程组有解？在有解的情形下请求出全部解。
五、（15分）设和均为四阶方阵，和的伴随矩阵分别为和，且的秩的秩试求的秩。
六、（20分）设二次型的矩阵是奇异矩阵，1）写出二次型的矩阵并求的值；
2）根据所求的的值，求一个可逆矩阵和一个对角矩阵，使得；
3）求。七、（10分）已知证明：
1）能由线性表示；
2）不能由线性表示。
参考解答：一、解：；由行列式展开定理，
二、1）直接由定义证明，过程省略。2）是实对称矩阵，且注意的秩为，所以存在可逆矩阵，使得。
则。三、解：由初等变换得第。
一、三、五三列可以构成一个极大无关的列向量组。（其他可能三列三列；和三列。）
四、解：1）基础解系为2）方程组的系数阵为增广矩阵，容易知，对任意值即方程组有解。其全部解为：
五、解：再由，由于，则的所有三阶子式均为零，从而。又由于可逆，且在可逆变换之下不改变矩阵的秩，则。
六、解：，由于奇异，所以，即。
由特征方程
对特征值，
对特征值，。
注意：，则线性无关，取及即可。
此结果也可以直接做乘法，然后归纳的出。
七、证明：1）由知道线性无关，从而也是无关组（整体无关则局部无关），由于即线性相关，令。
则不能为零，即，从而能由线性表示；2）不能由线性表示反证：如不然，能由线性表示，则因为能由线性表示，所以能由线性表示，这和矛盾，故不能由线性表示。
其他备用题：
一、设二次型的矩阵是奇异矩阵，
1）写出二次型的矩阵并求的值；
2）根据所求的的值，求一个可逆矩阵和一个对角矩阵，使得。
二、已知，其中。
1）求行列式；
2）讨论齐次方程组何时只有零解？何时有无穷多组解？
3）在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表达全部解。
三、证明以下两个命题：
1）设是一个元齐次线性方程组，且，则方程组的任意个线性无关的解都是它的一个基础解系。
2）设为一个阶方阵，，且中的元素的代数余子式，则。
是齐次线性方程组的一个基础解系。
四、设都是三维向量空间中的列向量，其中线性无关，且与中的每一个向量都正交，证明：
1）线性相关；
2）线性相关。
解：1）令，考虑由于，则有非零解，即存在不全为零的使得， 所以线性相关；
2）考虑，其中不全为零，并注意线性无关，则不能全为零，否则与线性无关矛盾。由与中的每一个向量都正交得到：
及，不妨设都非零，否则命题证得。 于是有。
及，两式相加得：
于是有：，但其中不全为零，即线性相关。
五、设二次型的矩阵是奇异矩阵，
1）写出二次型的矩阵并求的值；
2）根据所求的的值，求一个可逆矩阵和一个对角矩阵，使得。
解：由于奇异，所以，即。
由特征方程
对特征值，
对特征值，。
注意：，则线性无关，取及即可。
六、若为正交矩阵，求和的值。
解：。七、设和均为同阶可逆矩阵，举例说明：可能存在，但。
八、矩阵中的元素取什么值时，可逆？
九、设矩阵，如果矩阵满足，为三阶单位阵，求。
解：，注意，即（）可逆，则。
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