考试方式： 闭卷
太原理工大学矩阵分析试卷(a)
适用专业：2010级硕士研究生考试日期： 2011. 1.18 时间： 120 分钟共 8 页。
一．单项选择题(每小题3分，共15分)
1．线性空间的维数是c ）
a）； b）； c）； d）.
解答，， 2．设，则的最小多项式为b ）
ab）；cd）.
解答。的最小多项式只可能是，。
而不是，并且，所以选b。
或者。的初等因子为；的初等因子为；的初等因子为；
所以的初等因子为；；。
所以的第四个不变因子为。
或者。块对角矩阵的最小多项式等于所有块的最小多项式的最小公倍式。
或者设的互不相同的特征值为，所对应的若当块的最大阶数为，则。
3．设矩阵，则a ）
a）0； （bcd）．
解答。因为，所以。
4.设是正规矩阵，则 （ d ）
a）是正定矩阵b）的特征值均为实数；
c）是正交矩阵d）可对角化．
5．下列命题不正确的是c ）
a）矩阵存在左逆矩阵的充分必要条件是列满秩；
b）任意矩阵的加号逆总是唯一的；
c）对任意矩阵，恒有；（考虑所以）
d）有解时，通解可表示为：，其中是与同维数的任意列向量。
二．填空题(每小题3分，共15分)
6．设可逆线性变换在基下的矩阵为，则从基到基的过渡矩阵为。
解答。因为，而可逆，所以也是基，所以从基到基的过渡矩阵为。
7．设，则的不变因子为。
解答。所以。
8．如果实对称矩阵满足，而，则。
解答。设的特征值为，那么。
所以或者，如果，则可逆，于是。
矛盾！所以是的特征值，所以，所以。
或者如果的特征值全是，由于为实对称矩阵，所以，所以，矛盾！
9. 设矩阵，则=
解答。所以。
10. 设矩阵，则的实特征值的个数为 4
解答行、列盖尔圆一起用！
三．证明与计算题(每小题10分，共70分)
11．设，求，，，
解答。12．设，1）证明是的一个线性子空间；
2）当时，对的不同取值，求的一个基与维数。解答。
因为，所以；
假设，那么，于是。
所以；假设，那么，所以，所以。
所以是的一个线性子空间。
当并且时，则。没有基，。
当时，方程组的解为，所以一个基为，。
当时，方程组的解为，所以一个基为、，。
13．设，在上定义变换为：。
1）验证是上的线性变换；
2）求在基下的矩阵。
解答。1），因为为3阶矩阵，所以，所以。
所以是上的线性变换。
所以。14．复数域作为实数域上的一个2维线性空间，1）求由基到基的过渡矩阵，并给出复数在基下的坐标；
2）定义上的一个内积，使在该内积下成为的一个标准正交基，并求向量在该内积意义下的长度。
解答。1），所以过渡矩阵。
在下的坐标为，设其在下的坐标为，那么。
所以复数在基下的坐标为。
2）定义内积为，要求，。
设，，那么由（1）知，所以。
而在基下的坐标为，所以，于是。
注由于在新内积下，为的一个标准正交基，所以度量矩阵为单位矩阵，而，所以=。
15．设，1）求的smith标准形；
2）求的jordan标准形。解答。
初等因子为，
所以。16．设，1）求；
2）求解初值问题。解答。
设，2)．17．设，
1）求的满秩分解；
2）求的加号逆；
3）求矛盾方程组的最小二乘解的通解。
解答。1），所以。
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