一．选择填空题。
1已知在内具有二阶导数，且则。
a）在内在内。
b）在内在内。c)(d)
应选d.解：由题设知，令则。
于是在内单调增加，且当。
可见在点处取极小值，也即最小值，从而有即故选。
2.设常数且级数收敛，则级数。
a)发散(b)条件收敛（c）绝对收敛（d）收敛性与的取值有关。
应选(c).解：
3.交换二重积分次序。应填。解：
积分区域为d:
也可表示为d：
故交换积分次序有。
4.设满足且当。
应填。解：由已知，得，根据不定积分性质有。
所以即。分离变量，两边积分，再由已知条件得。
5.设当。应填1.
解：由知，当时，于是。
又当时，再根据题设有：可见n=1.
6.级数。a)发散。（b）绝对收敛。（c）条件收敛。(d)收敛性与k有关。
应选c.解：无论k为正为负，当时，所以当时，为交错级数，由莱布尼兹判别法，级数收敛，对于因为。
所以发散。所以级数条件收敛，且收敛性与k无关，故（c）为答案。
7.设其中而i等于。
应选a.解：区域d（如图所示）关于x轴、y轴以及原点对称。
而具有性质：故。
d1为d位于第一象限部分，见图）
因此。故选(a).
应选c.解：令则由有。
于是，既有。
可见，故。因此应选(c).
应填10解：
应填。解：因为于是。
从而有。11.已知微分方程为全微分方程，则。
应填2.解：因为。
于是由。12设曲线在原点处与相切，且则。
应填a+b.
解：由题设知，于是。
二．解答题。
1.设u(x,y)与圆盘d：内有二阶连续偏导数，且求（这里n是d的边界c的单位法向量。）
解：令n=()则切向量s=（）
于是，令则。
记，则。因此，故。
2.设函数在连续，且满足证明：收敛，而发散。
解：由。知。
且有根据的表达式知，为连续函数，故存在当时，即在内单调增加，于是。
可见当时，且。
因此交错级数收敛，故而发散，故也发散。
3.设在的某领域内具有二阶连续导数，且证明：（1）及在点相切；
2)及在点的某领域中具有相同的凹凸性及在上有相同的曲率。
4.计算其中。
为连续函数，是x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。
其中，5.2）又设且单调减少，试证明。
解：（1）令。
则。由罗尔定理使。
即得。2）（反证法）假设存在。
两式相减，得。
由条件左侧为正，右侧为负，矛盾，故假设不成立，6..求曲面s：到平面的最短距离。
解：因为曲面上任一点(x,y,z)到平面距离应用拉格朗日函数法，设。
解方程组。得。
7.设c是圆周取逆时针方向，又为正值连续函数。试证：
解：由轮换对称性。
所以。所以。
8.设函数满足且。
1）试求函数的表达式；
2）若。解：（1）设则。
9.证明是的一个特解。
所以。为连续函数，是x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。
5.（1）设在区间[0,1]上连续，试证明存在使。
（2）又设且单调减少，试证明是唯一的。
6.求曲面s：到平面的最短距离。
7.设c是圆周取逆时针方向，又为正值连续函数。试证：
8.设函数满足且。
1）试求函数的表达式；
2）若求。
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