第二章。
2-5 设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制曲线，指出各方程的模态。
解答：1）将等式两边作拉氏变换可得。
对上式作拉氏反变换可得
的曲线如图2-4(a)所示。
由的表达式易得系统的特征根为。
故该方程的运动模态为。
（2）将等式两边作拉氏变换可得。
对上式作拉氏反变换可得。
的曲线如图2－4(b)所示。
由的表达式易得系统的特征根为。
故该方程的运动模态为
（3）将等式两边作拉氏变换可得。
对上式作拉氏反变换可得。
的曲线如图2-4(c)所示。
由的表达式易得系统的特征根为。
故该方程的运动模态为 。
图2-4 的曲线图。
2-9 若某系统在阶跃输入时，零初始条件下的输出响应，试求系统的传递函数和脉冲响应。解答：则
对c(t)表达式取拉式变换，得到系统的输出量为。
根据传递函数定义。
系统的脉冲响应为。
2－10设系统传递函数为初始条件c(0)=-1, =0,试求阶跃输入r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。
解答：该题有两种解法。
方法（一）:时域求解。
由传递函数可得系统的特征方程为：
所以，零输入响应可表示为
把c(0)=-1, =0代入得a=-2，b=1
而零状态响应
方法(二) :s域求解。
根据，得到相应的微分方程为。
考虑初始条件，两边取拉氏变换得。
再做反拉氏变换，得到c(t)=
2-20．画出如图2-20系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统信号流图的传递函数c(s)/r(s)和c(s)/n(s)。
图2-20 系统结构图。
解答：由结构图画出系统信号流程图如下：
不考虑n(s)时，有两个单独回路即=-g1g2h1-g1g2，无不接触回路。
因此信号流程图特征式=1-=1+g1g2h1+g1g2
从源节点r(s)到节点c(s)的前向通路增益为 g1g2,所以。
不考虑r(s)时，有两个单独回路即=-g1g2h1-g1g2，无不接触回路。
因此信号流程图特征式=1-=1+g1g2h1+g1g2
从源节点r(s)到节点c(s)的前向通路有两条，其前向通路总增益及余子式分别为。
=1+g1g2h1
第三章。3－3 已知各系统的脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：解答：
3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为。
试求系统的超调量%，峰值时间和调节时间。
解答：因为0<<1，所以系统是欠阻尼状态。
阻尼比=cos()=0.6，自然频率，阻尼振荡频率=
1． 峰值时间的计算。
2． 调节时间的计算。
3． 超调量%的计算。
3-5设单位反馈系统的开环传递函数为，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解答：方法一：根据比例-微分一节推导出的公式。
把z=1/=2.5, ,代入可得。
峰值时间的计算。
超调量得计算。
调节时间得计算。
方法二：根据基本定义来求解。
闭环传递函数为。
当输入为单位阶跃函数时。
得单位阶跃响应。
1． 峰值时间的计算。
对h(t)求导并令其等于零得。
2. 超调量%的计算。
3. 调节时间得计算。
3-6.已知控制系统的单位阶跃响应为，试确定系统的阻尼比和自然频率。
解答：系统的单位脉冲响应为。
系统的闭环传递函数为。
自然频率。阻尼比。
3-7 设图3－7是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数和，使系统的。
图3－7飞行控制系统结构图。
解答：通过简化3－7中所示的结构图，得到系统的闭环传递函数为。
将上式与二阶系统的传递函数的标准形式。
相比较可得。
将代入上述方程组并解之可得。
3-8分别求出图3-8中各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。
图3－8 控制系统。
解答： （1）由图3－8（a）可得系统的闭环传递函数为。
由上式易得，此系统的动态性能指标为。
自然频率。阻尼比。
超调量 调节时间
2）由图3－8（b）可得系统闭环传递函数为。
显然，这是一个比例－微分控制二阶系统，因此有。
此系统的动态性能指标为。
峰值时间 超调量。
调节时间。3） 由图3－8（c）可得系统闭环传递函数为。
由上式易得，此系统的动态性能指标为。
自然频率 阻尼比 ，所以为欠阻尼二阶系统。
超调量。调节时间。
动态性能的比较表如下表3－1所示。
表3－1 动态性能的比较表。
3-9设控制系统如图3-9所示。要求：
1） 取计算测速反馈校正系统的超调量，调节时间和速度误差；
2） 取计算比例-微分校正系统的超调量，调节时间和速度误差；
图3－9 控制系统。
解答：（1）取时，系统的传递函数为。
由开还传递函数可知，此系统是一个i型系统，其速度系数为，由静态误差系数法可得系统的速度误差为。
由闭环传递函数可知，，故。
超调量。调节时间。
2)取时，系统的传递函数为。
由开还传递函数可知，此系统是一个i型系统，其速度系数为，由静态误差系数法可得系统的速度误差为。
由比例微分校正系统的闭环函数可知。
超调量 调节时间。
3-11已知系统特征方程为。
试用劳思判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。
解答：首先用劳思判据来判定系统的稳定性，列出劳思表如下：
显然，由于表中第一列元素的符号有两次改变，所以该系统在右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则。
显然，系统不稳定。
3－13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为。
试确定系统稳定时的值范围。
解答： 由题意可知系统的特征方程为。
列劳思表如下。
由劳思稳定判据可得。
解上述方程组可得。
3－15 已知单位反馈系统的开环传递函数：
试求输入分别是时，系统的稳态误差。
解答：（1）
由上式可知，该系统是0型系统，且。
0型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。该系统在输入为时的稳态误差为。
根据线性叠加原理，该系统在输入为时的稳态误差为。
由上式可知，该系统式1型系统，且。
1型系统在信号作用下的稳态误差分别为：。该系统在输入为时的稳态误差为。
根据线性叠加原理，该系统在输入为时的稳态误差为。
3） 首先需要判定此系统的稳定性，对于单位负反馈系统有，所以系统的闭环特性方程为。
用劳思稳定判据来确定此系统的稳定性，列劳思表如下。
显然，劳思表中的第一列元素均大于零。由劳思稳定判据可知系统是稳定的。
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