考试时间：2008年6月12日。
北京化工大学2007——2008学年第二学期。
离散数学（i） 》期末考试试卷。
班级姓名学号分数。
一、填空题（共20分，每小题2分）
1.已知命题公式a(p,q,r)的主析取范式为m1∨m2∨m5∨m6，它的主合取范式为。
m0∧m3∧m4∧m7。
2.任意两个不同极小项的合取为永假式。
3.命题公式p∨(q∧~r)的真值为真的解释为 100，101，110，111，010 。
4.设个体域d=，命题xy(x+y=3)的真值为 1 。
5.设i为整数集合，a=，b=，c=则(c-a)∩(b-a
6.设上的关系r=，则r的自反闭包r(r)= r∪ 。
7.设r是集合上的模7等价关系，则[2]r=
8.设a=，a上的一个划分=,,则所诱导的等价关系r应有 17 个元素（序偶）。
9.设个体域d=，消去公式xp(x)∧yq(y)中的量词，可得 p(0)∧p(1)∧(q(0)∨q(1))
10.谓词公式xyp(x,y)的否定式为 xy~p(x,y) 。
二、判断题（共20分，每小题2分，正确的在题号前打，错误的在题号前打×）
1.对于任意集合s，都有p(s)。（y）
2.若r是集合x上的等价关系，则商集x/r是x的一个划分。（y）
3.若p∪q=q，p∩q=φ，则p=φ y）
4.给定命题公式a,b,c，若ab，bc，则ac。（y）
5.设a,b是集合，则ab和ab可能同时成立。（y）
6.一个不是自反的二元关系一定是反自反的。（n）
7.集合上的一个关系r=，r显然不是传递关系。（n）
8.一个命题的析取范式是唯一的。(n)
9.对于任意的集合a,b,c，都有a(b∪c)=(ab)∪(ac)。（y）
10.在谓词公式中，一个变元要么是自由的，要么是约束的。（n）
三、选择题（共20分，每小题2分）
1.设a,b,c都是集合，若a∪b=a∪c，则 d 。
a bc b cb c c=b d c和b不一定相等。
2.若a是素数集合，b是奇数集合，则a-b= a 。
a b c d
3.设s是一任意集合，且|s|=3，则s上不同的等价关系有 c 个。
a 8 b 9 c 5 d 6
4.下面的命题中， c 是假命题。
a 若2是奇数，则一个公式的合取范式是唯一的。
b 若2是奇数，则一个公式的合取范式不唯一。
c 若2是偶数，则一个公式的合取范式是唯一的。
d 若2是偶数，则一个公式的合取范式不唯一。
5.设有命题“x是偶数或y是负数”，则该命题的否定是 d 。
a x是偶数或y不是负数b x是奇数或y不是负数。
c x是奇数且y不是负数d x不是偶数且y不是负数。
6.在谓词演算中，p(a)是xp(x)的有效结论，其理论根据是 a 。
a us规则 b ug规则 c es规则 d eg规则。
7.重言式的否定式是 b 。
a 重言式 b 矛盾式 c 可满足式 d 蕴涵式。
8.给定命题公式p,q，若 a 为永真式，则称q为p的有效结论。
a p→q b q→p c p↓q d p↑q
9.如果pq成立，则 c 也成立。
a qp b ~p~q c ~q~p d ~pq
10.若个体域为整数域，则下列公式中 a 为真。
a xy(x+y=0) b xy(x+y=0)
c xy(x+y=0) d yx(x+y=0)
四、计算与证明题。
1.（共5分）证明：((a∪b)∩(a∪b∪c))-a-b)∩c)∪(a-b))=b。
解 ((a∪b)∩(a∪b∪c))-a-b)∩c)∪(a-b))
=(a∪b)-(a-b)∩c)∪(a-b))
=(a∪b)-(a-b)
=b2.（共5分）令s(x,y,z)表示“x+y=z”，g(x,y)表示“x=y”，其中个体域为自然数集，用以上符号表示命题：对任意的x，x+y=x当且仅当y=0。
解：x(s(x,y,x)g(y,0))
3.（共10分）证明如下推理：
前提：p→﹁q,r→q,r
结论：﹁p证明：证明序列如下：
4.（共10分）设a=，r是a上的等价关系，且。r=求：
1）证明r是等价关系；(4分)
2）求每一个元素的等价类；(3分)
3）求a/r及由等价关系r诱导的a的划分ar。(3分)
解 （1）可见该矩阵的对角元均为1，故r是自反的。
又该矩阵是对称的，故r是对称的。
可见r是传递的。故r是等价关系。
2）[a]r=[b]r=,[c]r=[d]r=
3）a/r=,}ar=,}
5.（共10分）设x=是集合。
1）证明：<(x),>是偏序集；(4分)
2）对集合(x)，求其最大元和最小元，极大元和极小元，上确界和下确界。
其中(x)是x的幂集，是集合的包含关系。(6分)
证明：① a(x)，则有aa，故，即是自反的。
② a,b(x)，若且，则必有ab且ba，因此a=b，故是反对称的。
③ a,b,c(x)，若且，则有ab且bc，必有ac，故是传递的。
综上证明，知是偏序关系，即<(x),>是偏序集。
p(x)=
对于集合p(x)，其最大元是集合x，最小元是空集，极大元是集合x， 极小元是空集，上确界是集合x， 下确界是空集。
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