1.设， ,则，.
2.设矩阵的逆矩阵，则，.
3.设，则，当时，向量组线性相关。
4.已知矩阵，则秩，齐次线性方程组的解空间的维数等于。
5.已知方阵与对角矩阵相似，则，.
二。选择题(每小题3分，本大题满分12分)1.设阶方阵满足关系式，则必有( d ).
a); b); c); d).
2.设是阶矩阵，的第二列乘以为矩阵，则的( a )为。
a)第二行乘以； (b)第二列乘以； (c)第二行乘以； (d)第二列乘以。
3.设阶矩阵的秩，则( b ).
abcd).
4.设向量组可由向量组线性表示，则( c ).
a)当时，向量组必线性相关； (b)当时，向量组必线性相关；
c)当时，向量组必线性相关； (d)当时，向量组必线性相关。
三。(本题满分8分)
判断矩阵可逆，并求其逆矩阵。
解因，所以矩阵可逆2分)
按方法求4分)
所以8分)四。(每小题5分，本大题满分10分)1.计算行列式。
解3分) ……5分)
2.设为维列向量，矩阵， ,且已知行列式， ,计算。
解1分)2分)
3分)4分)
……5分)
五。(本题满分12分)
确定的值使线性方程组有解，并求其解。
解： 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：
2分)6分)
当时，方程组有解8分)
此时，同解方程组为9分)
令，求得通解为。
为任意数12分)
六。(本题满分12分)
设，问。1)向量组可否由向量组线性表示？若可以，写出线性表示式；
2)向量组与向量组是否等价？
解 (1) .3分)
于是，所以可由线性表示5分)
因此9分)2) 易知，所以。
从而与等价12分)
七。(本题满分13分)
已知矩阵，(1)求矩阵的特征值和特征向量；(2)计算。
解 (1) 矩阵的特征多项式为。
矩阵的特征值为3分)
当时，解，得基础解系，对应于特征值的全部特征向量为5分)当时，解，得基础解系，对应于特征值的全部特征向量为7分)2) 取，则8分)
于是，10分)
12分)13分)
八。(本题满分7分)
设，为阶方阵，为阶单位矩阵。计算。
并由此证明。解 4分)
上式两边取行列式，得。
5分)由，即得所证。 …7分)
九。(本题满分6分)
设维向量与正交，证明。
证明因与正交，故1分)
于是2分)6分)
一．填空题（每空3分，共15分）
1．行列式中（3，2）元的代数余子式的值为 -10 .
2．设为3阶方阵，若，则。
3．设为3维列向量，且，则 6 .
4．若向量组，，的秩为，则3.
5．设是方阵的一个特征值，则的一个特征值为。
二．选择题（每小题3分，共15分）
1．设方阵（不是零矩阵）满足，则必有【 c 】.
a）或b）;
c）或d）以上等式没有正确的。
2．设，下列说法错误的是【 a 】.
a）若为单位矩阵，皆为方阵，则必有；
b）若可逆，则可经过有限次初等变换化为；
c）若为单位矩阵，皆为方阵，则必有；
d）若可逆，则。
3．设为3阶可逆矩阵，，关于的说法，正确的是【 b 】.
a）交换的第1，3行得到；
b）交换的第1，2列得到；
c）交换的第1，2行得到；
d）交换的第1，3列得到。
4．若非齐次线性方程组所对应的导出方程组只有零解，则以下判断错误的是【 a 】.
a）的列向量组线性相关；
b）可能无解；
c）不可能有无穷多解；
d）可能有唯一解。
5．若，，是正交向量组，则，，分别为【 d 】.
a）0，0，0b）0，1，1/2；
c）0，-1/2，0d）0，1/2，0.
三．解答下列各题（每小题8分，共16分）
1．计算行列式。
解4分。6分。
=1608分。
2．设，求。
解： 令， ,则，……2分。
因为3分。所以：。
又因， 故，…5
从而7分。综上8分。
四．（本题满分10分）
已知矩阵，且，求。
解：由，得2分。
因为： =1，所以：可逆，故。 …3分。因。5分。
7分。8分。
9分。得10分。
五．（本题满分10分）
设向量组为：，，
1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个最大无关组；
3）请用最大无关组线性表示非中的向量。
解： 化矩阵为行最简形：
…..4分。
由此得：向量组a:的秩为26分。
一个最大无关组8分。
非中的向量：
10分。六．（本题满分10分）
求方程组的通解。
解：对增广矩阵实施行初等变换化为行最简形：
………4分。
6分。同解方程组为7分。
令，，得特解为8分。
令，，得通解为。
其中为任意实数10分。
七．（本题满分12分）
设是方阵的一个特征向量，1）求所对应的特征值及参数的值；
2）能对角化吗？若能，求可逆矩阵，使得成对角矩阵。
解：依题意： 即：
由此得3分。
所以，其行列式的值为65分。
设的其余两根为： ，则，从而： =1 ， 8分。
解方程9分。
即：，12分。
八．证明题（每小题6分，共12分）
1．设能被向量组线性表示，且表示式唯一，证明：线性无关。
证明：若能被线性表示，且表法唯一，则方程有唯一解3分。
从而5分。所以线性无关6分。
2．证明：两个相似矩阵具有相同的特征多项式。
证明：设是的相似矩阵，即存在可逆矩阵，使得，……2分。
因此。3分。
……4分。
5分。即与有相同的特征多项式。
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