2008 ~ 2009_学年第一学期线性代数课程试卷。
标准答案及评分标准 a卷
专业 07理工本、专科班级各
一 、填空题（每小题3分，共15分）
1.阶行列式，则展开式中项的符号为 。
2.设为三阶方阵，，，则 2 。
3.矩阵的秩r(a)= 2 。
4.设线性方程组有解，则其增广矩阵的行列式= 0 。
5.三阶方阵a的三个特征值分别为，则方阵的三个特征值分别为6, 11, 18 。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1.以下结论正确的是（ c ）。
a） 若方阵a的行列式，则；
b） 若方阵a满足，则；
c） 若方阵a为对称矩阵，则也是对称矩阵；
d） 对任意的同阶方阵a,b有。
2.当 ( d ) 时，齐次线性方程组一定有非零解。
（a）；（b）；（c）；（d）。
3.矩阵的行向量组的秩是a，列向量组的秩是b，矩阵a的秩是c，则（ b ）。
a) a>b>c； (b) a=b=c ； c) a**4.设与都是阶正交距阵，正确的叙述是（ c ）。
a）必是正交距阵；（b）必是正交距阵；（c）必是正交距阵；（d）以上a、b、c三种说法都不对。
5.如果λ0是n阶方阵a的特征值，那么必有（ a ）。
a) |a-λ0e|=0； (b) a-λ0e=0 ； c) |a-λ0e|≠0 ； d) a-λ0e≠0 。
三、（每小题5分，共10分）
*1.已知 ，计算，其中为该行列式第一列元素的余子式。
解：行列式第一列元素的代数余子式与其余子式的关系为。
2分。将行列式按第一列展开得。
所以3分。2.计算n阶行列式。解：2分。
3分。四、（每小题5分，共10分）
1.设a、b、c均为n阶方阵，其中a、b为可逆矩阵，e为n阶单位阵。化简矩阵表达式。
解：(bct-e)t(ab-1)t+((ba-1)t)-1=(cbt-e)[(b-1)tat]+[a-1)tbt]-1
(cbt-e)(bt)-1at+[(at)-1bt]-1=cat-(bt)-1at+(bt)-1at=cat5分。
2.已知，其中，．计算（n为正整数）．
解：因为，所以，进而。--2分。
因为2分。所以。--1分。
五、（8分）设，说明a及其伴随矩阵均为可逆矩阵，并解矩阵方程，其中。
解：因为，所以a为可逆矩阵；又因为，， 所以为可逆矩阵，且。--4分。
所以4分。六、（8分）设分块对角阵，其中分别为r,s阶方阵，且，证明b为可逆矩阵，且b的逆矩阵为；又若，求。
解：因为，所以均为可逆矩阵，又因为。
所以b为可逆矩阵，且b的逆矩阵为4分。
又，所以。--4分。
七、（8分）判断线性方程组是否有解，若有解求其解，并写出对应齐次线性方程组的基础解系。
解：，所以，方程组有解，且有无穷多解3分。
方程组的通解为3分。
对应齐次方程组的基础解系为2分。
八、（8分）利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示。
解： 所以列向量组的一个最大线性无关组为5分。
其余向量用该最大线性无关组线性表示为。
3分 九、（12分）设二次型，(1)写出二次型矩阵a ；(2)求正交变换将该二次型化为标准型。
解：(1) 二次型矩阵2分。
2) 令，解得特征值为4分。
对于对于解方程，，所以对应于线性无关特征向量为，单位化得；
对于解方程，对应于线性无关特征向量为，且正交，单位化得。
4分。正交变换为，其中，标准形为。
2分。十、（6分）设m个n维非零的顺序向量，证明线性无关的充分必要条件是：任意向量不能被它前面的个向量线性表示。
证明：必要性：设向量组线性无关，则部分向量组线性无关，特别地，向量组线性无关，则向量不能被它前面的个向量线性表示：否则，线性相关，与线性无关矛盾。
3分。充分性：设任意向量不能被它前面的个向量线性表示，并设。
若，则可由线性表示：，这与题设矛盾，则必有，于是(1)应为。
若，则可由线性表示：，则必有于是(1)式应为。以此类推知。
于是(1)式应为，又因为为非零向量，则。总之要使(1)式成立，必须，所以向量组线性无关。3分。
线性代数试题及解答
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