广州大学2014-2015学年第一学期考试卷解答。
课程：《线性代数考试形式：闭卷考试。
学院专业班级学号姓名。
一、填空题（每空3分，本大题满分15分）
1．设，都为3阶方阵，且，，则。
2．若对三阶矩阵先交换第一，三行，然后再把第二行的2倍加到第三行，得到矩阵，则，其中。
3．若为3阶方阵，且秩，则 0 .
4．设向量组， ,所生成的向量空间为2维的，则 -2 .
5．已知，其特征值为，，则的行列式中第二行元素的代数余子式之和。
二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）
1．设阶方阵满足关系式，且，则必有（ d ）.
a）； b）； c）； d）.
2．若为阶单位矩阵，则必有（ c ）.
a）也为阶单位矩阵； （b）可能无意义；
cd）以上都不对。
3．对含个未知数，个方程的线性方程组，行列式是它有解的（ b ）.
a）充分条件； （b）必要条件；
c）充要条件； （d）既非充分也非必要条件。
4．设，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ c ）.
a）； b）； c）： d）.
5．已知矩阵有一个特征向量，则（ b ）.
a); b); c); d).
三、（本题满分8分）
计算行列式。
解： -3分。
---6分。
---8分。
四、（本题满分12分）
设，且满足，求。
解：由于，则，--2分。
---8分。
所以可逆，且，--10分。
于是。--12分。
五、（本题满分10分）
设，其中，，求。
解：，，则。--3分。
由得，于是。
---5分。
---7分。
---10分。
六、（本题满分10分）
求齐次线性方程组的通解。
解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换：
---5分。
原方程组的同解方程组为，--7分。
令，求得通解为。
（为任意数）.-10分。
七、（本题满分6分）
设向量组线性无关，向量可由它们线性表示，而向量不可由它们线性表示，证明：向量组线性无关，其中为任意常数。
证明：设存在一组数，使。
假设，则。因可由线性表示，可知也可由线性表示，这与题设不合。 所以假设不成立，因此。--3分。
于是（1）式化为。
因线性无关，所以。 这样，（1）式只有零解，因此线性无关。--6分。
八、（本题满分12分）
已知向量组，向量组，若可由线性表示，求的值，并判断此时这两个向量组是否等价。
解： ---6分。
由于可由线性表示，则。--8分。
此时，，-9分。
因此。--11分。
因，所以与不等价。--12分。
九、（本题满分12分）
求矩阵的特征值和特征向量。
解： 矩阵的特征多项式为，矩阵的特征值为，.-6分。
解方程组。 由。
得基础解系。
因此，矩阵对应于的全部特征向量为。
不同时为零）.-9分。
解方程组。 由。
得基础解系。 因此，矩阵对应于的全部特征向量为。
不为零）.-12分。
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