西南财经大学2010 — 2011学年第二学期。
周二。学号评定成绩分）
学生姓名担任教师。
高等代数 》 期末 a 卷考试题。
一、 填空（每小题2分，共10分）
1.设向量空间，则v是 n-1 维空间。
2．a，b均为3阶方阵，a的特征值为1，2，3，，则 -84
3．设二次型正定，则t满足。
4．设矩阵a满足条件，则矩阵a的特征值是 2 ，3
5．三维线性空间v的秩为2，则零度为 1 。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1．设是n阶可逆矩阵a的属于特征值的特征向量，在下列矩阵中，不是（ d ）
的特征向量。
（a） （b）-3a （c） （d）
2．已知a，b为同阶正交矩阵，则下列（ c ）是正交阵。
a） （b）a-b （c） （d）
3， 设a为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ c ）
a）若a可逆，则矩阵a的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。
b）若矩阵a存在属于特征值的n个线性无关的特征向量，则。
c）矩阵a的属于特征值的全部特征向量为齐次线性方程组的全部解。
d）a与有相同的特征值。
4．若a为n阶实对称矩阵，p为n阶正交阵，则为（ a ）。
（a）实对称阵b）正交阵。
（c）非奇异阵d）奇异阵。
5．设a，b都是正定阵，则（ c ）
（a）ab，a+b一定都是正定阵。
（b）ab是正定阵，a+b不一定是正定矩阵。
（c）ab不一定是正定阵，a+b是正定阵。
（d）ab，a+b都不是正定阵。
6．当（ c ）时，是正交阵。
（ab）（cd）
7．设a，b均为n阶矩阵，且a与b合同，，则( d)
（a）a,b有相同的特征值 （b）a,b 相似。
（cd）8.上的线性变换t在基下的矩阵为。
则基在下的矩阵为（ a ）
a） （b） （c） （d）
9．对于阶实对称矩阵，结论（ c ）正确。
a）一定有个不同的特征值。
b）一定有个相同的特征值。
c）必存在正交矩阵p，使成为对角矩阵。
d）的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的。
10． 设矩阵a，b，c均为n阶矩阵，则矩阵的充分条件是（c）
a）与b有相同的特征值。
b）与b有相同的特征向量。
c）与b与同一矩阵相似。
d）一定有个不同的特征值。
三、计算题（每小题8分，共64分）
1.设n阶矩阵
求的特征值和特征向量，并判断a是否相似于对角阵。
解： 所以a的特征值为。
（3分）代入特征值，a的特征向量为（2分）
代入特征值，a的特征向量为（2分）
a有n个线性无关的特征向量，所以a可以对角化 （1分）
2．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数k。
解：由于向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，所以也是矩阵a的特征向量，根据特征值和特征向量的定义，得：
3分）代入得。
2分）得方程组。
解得：（2分）
所以当时，向量是的特征向量（1分）
3．设 4维空间的两组基为。a）b）
1）求基（a）到（b）的过渡矩阵。
2）求向量在（a）下的坐标。
解：1）过渡矩阵。
对矩阵作初等变换化为行最简形。
得（2分）所以过渡矩阵（2分）
2）（2分）
故在a下的坐标为 （2分）
4．设为线性空间的一组基，线性变换t在基下的矩阵为。
在基下的坐标为，求在基下的坐标。
解：（4分）
所以在基下的坐标（4分）
5．设矩阵，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆矩阵p，使得为对角阵。
解：因为有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，故a的属于线性无关的特征向量必有两个，秩 ( 2分 )
经行初等变换得：
解得（2分）
所以矩阵，求得特征值。
对于特征值，解得特征向量（ 2分）
的特征向量。
所以可逆矩阵。
则有。2分）
6．设矩阵，矩阵，其中k为实数，求对角阵，使b与。
相似，并求k为何值时，b为正定阵。
解：先求a的特征值，得。
得a的特征值（2分）
故得b的特征值（2分）
所求对角阵（2分）
当b为正定阵（2分）
7．已知三阶实对称矩阵a的三个特征值为8，2，2，对应特征值的特征向量为，求：（1）对应的特征向量；（2）问a是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵，并求出矩阵p，使。
解：由题意与正交，令。
得方程组解得（3分）
由于a有三个线性无关的特征向量，所以a与对角矩阵相似， （2分）
使。 （3分）
8．将二次型化为标准型，并写出变换矩阵。
解：二次型的矩阵为，则的特征多项式。
（1分）由此得的特征值（1分）
对于，解齐次线性方程组，得基础解系。
（1分）对于，得特征向量（1分）
正交化，单位化得： （1分）
对角阵（1分）
所以得正交变换的矩阵为（1分）
二次型的标准形为（1分）
也可用配方法。
四、证明题（6分）
设是3阶实对称方阵，有n个互异的特征值其，对应的特征向量依次为。令，证明：线性无关。
证明： 3分）
令，分别代入（1），（2），（3）
得 （3分）
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