中科院数学与系统科学研究所2001年高等代数试题解答。
一、 设和为满秩方阵，试求。
的逆矩阵（用表示即可）。
解：由知，可逆。
令，表示与同阶的单位矩阵，则由得，其中为与同阶的单位矩阵，其中为与同阶的单位矩阵。
于是得 由此解出
所以 .二、 设为个实数，方阵。
试求的所有特征值。
解： 的特征多项式为。
由此可知， 的个特征值为（为重特征根）。
三、 设为正实数，求出满足。
与之的最小值。
解： 平面区域的图形如下图中阴影部分：
由此知满足与之的最小值即直线。
与交点的纵坐标，不难求得其值为。
四、 设为方阵，且为满秩阵，为实数，试证明： 存在正数，使得在时，满秩。
证明：考虑矩阵， 其中为单位阵。
由于关于的方程仅有有限个根(它们为方阵的全部特征根).从而数集为有限集。若，则令为数集中的最小数；若，则可取为任何正数。于是，当时，必有。
所以， 当时，为满秩阵，从而。
为满秩阵。五、 设为维欧氏空间中的个向量。 又设其中。 试证明：为线性无关的， 当且仅当为满秩。
证明： 由已知条件，为维欧氏空间中的个向量。 令为以为列向量的矩阵， 则为实矩阵，且(表示的转置矩阵).
又设为阶方阵，则秩秩， 且。
为阶方阵，从而。
秩秩。以下证明秩秩。 为此考虑齐次线性方程组。
与2)令分别表示(1)与(2)的解向量空间， 则显然有。
另一方面， 注意到对任意维实(列)向量，
我们有。所以又有。 从而， 维维。
由线性方程组理论可知， 秩维=,秩维=,于是得秩秩。
综上讨论， 我们有秩秩秩秩。
由此知，线性无关， 当且仅当秩，当且仅当秩，当且仅当为满秩。
六、 设为对称方阵， 试证明。
其中“”表示方阵的追迹(即对角元素之和).
证明： 设为阶对称方阵。则 所以。
由此得。而。
所以。由此得。
最后由柯西- 布涅柯夫斯基不等式易知。
从而得。
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