一、设正值序列满足，证明：存在，并求其值。
证明：因为对，，有，所以，是驻点。
由知为极小值，即最小值。
由上知，，即，所以单调增加，又由的，即，从而存在，且。
对不等式取极限，得，由第一段知。
二、计算下列极限。
解法一：由于，
因此。解法二：由于，考虑级数的收敛性。
根据正项级数的审敛法知级数收敛，有。
因此。练习：1、。2、
解：由于。而，
因此。练习：
解：解：由于。练习：
三、设函数连续，，且，为常数，求及在处的连续性。
解：设，则，当时，
当时，由于函数连续，且，则，。
即在处的连续。
四、设在上有定义，在处可导，且，若对所有的，有，试证：在上可导，并求。
解：令，由条件知。
让，则。由导数定义知在处可导，且有，再由上式得。
又得。五、设是区间上任一正值连续函数。（1）试证存在，使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积。（2）又设在区间上单调增加，试证（1）中的是唯一的。
证明：（1）令。
由零点定理得，使得，即，于是命题成立。
2）设存在，使，从而，则右边为负，左边为正，矛盾。
六、设，它在区间上的任一子区间上不恒为零，且在上二阶可导，，证明：方程在上最多只有一个根。
证明：设均为方程的根，由罗尔定理，存在，，因为，所以单增，于是。
所以是的最小值点，从而。
又，所以。由前面的结论，在上单增，所以在上也单增。这时，，即在上恒为零，与题设矛盾，因此至多有一根。
七、设在上有四阶连续的偏导数，在的边界上恒为零，且，试证明：。
证明： 所以。
八、计算二重积分，其中是由轴，，和围成的有界闭区域。
解设，，则积分区域，雅可比行列式为 ，而。
因此， 练习：计算二重积分，其中是由平面曲线，，和所围成的有界闭区域。
解设，，则积分区域，雅可比行列式为。而。因此。
九、设是过原点，方向为（其中）的直线，均匀椭球。
其中，密度为1）绕旋转。
1） 求其转动惯量。（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
解 （1）设旋转轴的方向向量为，椭球内任意一点的径向量为，则点到旋转轴的距离的平方为。
由积分区域的对称性可知。其中。或。
同理计算，
由转动惯量的定义知。
2）考虑目标函数在约束条件。
下的条件极值。
设拉格朗日函数为。令，
解得极值点为，，
比较可知，绕轴（短轴）的转动惯量最大，为。
绕轴（长轴）的转动惯量最小，为。
十、已知满足（为正整数），且，求函数项级数之和。
解：由于满足，则。
因，则。即。
设，级数的收敛区间为。
当时，， 当时，，
当时， 十。
一、设函数由参数方程所确定。且。
其中具有二阶导数，曲线与在处相切。求函数。
解因为， 由题设，因此有，整理得到。
设，则为一阶线性微分方程。
由曲线与在处相切知，，
得到。由知，，于是，
十。二、设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。
1）设为正向闭曲线，证明：。
2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。
解（1）设，闭曲线由，组成，设为不经过原点的光滑曲线，使得（其中为的反向曲线）和分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线，。由曲线积分的性质和题设条件知。
2）设， 令，即。
解之。3）设为正向闭曲线所围区域，由（1）得到。
利用格林公式和对称性。
十。三、设函数连续，为常数，是单位球面，记第一型曲面积分，求证：。
证明：由于，当时，等式成立。
当它们不全为零时，原点到平面的距离是。
设平面，其中固定，则是原点到平面的距离，从而，两平面和截单位球的截下的部分上，被积函数取值为。这部分摊开可以看成一个细长条，这个细长条的长为，宽为，它的面积为，故得证。
十。四、计算曲面积分，其中是曲面，外侧为正。
解：闭曲面是八个平面：围成体的表面。
设，， 由奥高公式有。
作变换，设，
设闭曲面在直角坐标系中变换为，体变换为体。
即体是八个平面所围成的正八面体，其体积为。于是。
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