初中数学竞赛解答题训练（经典赛题）
1．已知抛物线：和抛物线：相交于ａ，ｂ两点．点p在抛物线上，且位于点a和点b之间；点q在抛物线上，也位于点a和点b之间．
1）求线段ab的长；
2）当pq∥轴时，求pq长度的最大值．
2．已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
3．如图，点e，f分别在四边形abcd的边ad，bc的延长线上，且满足．若cd，fe的延长线相交于点g，△deg的外接圆与△cfg的外接圆的另一个交点为点p，连接pa，pb，pc，pd．求证：
2）△pab∽△pdc．
4．（1）是否存在正整数，，使得？
2）设是给定的正整数，是否存在正整数，，使得？
5．如图，△abc为等腰三角形，ap是底边bc上的高，点d是线段pc上的一点，be和cf分别是△abd和△acd的外接圆直径，连接ef. 求证： ．
6．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点a，b. 已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）.
1）求实数a，b，k的值；
2）过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△eoc∽△aob的点e的坐标。
7．求满足的所有素数p和正整数m.
8．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？答案。
解：（1）由解得。
不妨设点a在点b的左侧，则a（-2，6），b（2，-6）
所以。2）设p（a,b），则-2≤a≤2，因为pq∥y轴，所以点q的横坐标为a，则。
所以pq＝＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，pq的最大值为8。
解：假设方程有两个整数解为，由知，下证（1）
事实上，若，则，即，因a，b为正整数，所以ab＝1，2，3或4，易知不存在a，b的值满足。
2）不妨设。
则，即，所以有，因是正整数，故。
把代入原方程得， 即，也即。
所以，因a,b都是正整数，则解得：
由得。综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得。
方程有两个整数解为。
证明：（1）连结pg，pe，pf，四边形pged和四边形pgfc都内接于圆。
解：（1）由得：
又因为当n为正整数时，，所以不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数，，使得。
2)当k=3时，由得：，若关于m的方程有正整数解，则（为正整数），即。
所以，解得： 所以不存在正整数，，使得。
当时，①若，代入。整理得。
设（为正整数）
即。令，解得，此时。
若，代入。整理得。
设（为正整数）
即。令，解得，此时并且m，n的值都是正整数。
综上，当时，不存在正整数，，使得；
当时，存在正整数，使得；
当时，存在正整数，使得。
5、证明：如图，连接ed，fd. 因为be和cf都是直径，所以。
ed⊥bc， fd⊥bc，因此d，e，f三点共线。 …5分）
连接ae，af，则。
所以，△abc∽△aef10分）
作ah⊥ef，垂足为h，则ah=pd. 由△abc∽△aef可得。
从而。所以20分）
6、解：（1）因为点a（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为。
设点b（t，），ab所在直线的函数表达式为，则有。
解得，.于是，直线ab与y轴的交点坐标为，故。
整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点b的坐标为（，）
因为点a，b都在抛物线（a0）上，所以解得 ……10分）
2）如图，因为ac∥x轴，所以c（，4），于是co＝4. 又bo=2，所以。
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点d， 则点d的坐标为（，0）.
因为∠cod＝∠bod＝，所以∠cob=.
i）将△绕点o顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是co的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点。
ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点e２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（220分）
7、解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或。 …5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而。
所以解得10分）
2）若，令，k是正整数。
当时，有，故，从而，或2.
由于是奇数，所以，从而。
于是。这不可能。
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解。
综上所述，所求素数p=5，正整数m=920分）
8、解：首先，如下61个数：11，，，即1991）满足题设条件5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为。
，所以。因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得，所以，，即≥1115分），故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为6120分）
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