1．（本题满分16分） 已知函数．
求的最小正周期和的值域；
若为的一个零点，求的值．
解：⑴ 4分。
所以的最小正周期5分。
由，得的值域为7分，由题设知，….8分。
由，结合知，可得10分。
12分。14分。
………16分。
2．（本题满分18分）已知函数，
ⅰ）当时，关于的方程有3个不同的实根，求实数的值；
ⅱ）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。
解：（ⅰ设，，作出函数的图象。
当时，求出，另一个可以符合题意。
当时，求出，另一个可以符合题意。
当时，此时不合题意。
综上，或者 ——8分。
ⅱ）设函数的值域分别为，根据题意有。
当时，，，可以符合题意。
当时，此时需，记，则，即或即或综上，或18分。
3．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．
求的解析式；
问为何值时，有最小值？并求出的最小值．
解：⑴，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论1分。
当时，且，此时，．．3分。
当时，且，此时，．．5分。
当时，，在区间上递增，此时，．．7分。
当时，，在区间上递减，此时，．．9分。
综上所得10分。
当时11分。
当时，递减13分。
当时，递增15分。
当时16分。
综上所述，当时17分。
4．（本题满分16分）已知函数。
ⅰ）若是函数的一个零点，，求的最大值以及此时的取值集合；
ⅱ）若，函数在区间上是单调函数，求的取值范围。
解：（ⅰ得到，则。
即，，此时——8分。
ⅱ），得到16分。
5.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数满足下列条件：
存在常数，使得；②对任意实数， 当时，有．
求证：对于任意正数，；
证明：在正实数集上单调递减；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
证明：均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，..2分。
又， .5分。
证明：任设，可令，．…7分。
则由⑴知。9分。
即． 在正实数集上单调递减10分。
解：令，原不等式化为，其中．
且，不等式可进一步化为12分。
又由于单调递减，对于恒成立13分。
而15分。6.（本题满分16分）已知关于的方程的两根为和。
ⅰ）求实数的值；
ⅱ）求的值。
解：（ⅰ为方程的两根，则有4分。
由（2）、（3）有：，解得：，此时，又8分。
12分。且，--16分。
7.（本题满分17分）设实数，函数。
ⅰ）当时，判断的单调性；
ⅱ）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形。
解：易知的定义域为，且为偶函数。
ⅰ）当时，，令，则关于的函数在上单调递增，在上单调递减3分。
又定义域为，，而在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增7分。
ⅱ）令，，
从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有10分。
1）当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而12分。
2）当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而14分。
3）当时，在上单调递减，
由得，从而16分。
8．（本题满分18分）函数的定义域为，且满足：
对于任意的，；
在区间上单调递增。
求（ⅰ）ⅱ）不等式的解集。
解：（ⅰ令，则，所以或2分。
令，则，令，则4分。
若，则，因为在上单调递增，所以，矛盾！因此6分。
令，则，所以的图像关于直线对称8分
再证的图像关于原点对称。
令，，所以，因为，所以，令，有，对上式令，则，所以10分。
又因为，所以对任意的，恒有，所以的图像关于原点对称12分。
所以对于任意，从而的最小正周期为14分。
这样可以大致描述的图像（如右）
令，因为，所以，所以16分。
由，可得。根据图像，可知，所以不等式的解集是18分。
9．（本题满分17分）已知非零向量和，函数。
ⅰ）若方程有两个相等的实根，，求向量和夹角；
ⅱ）若，函数在上的最小值为，求实数的取值范围以及此时向量和夹角的余弦值。
解：（ⅰ设向量和夹角为，由得到，于是向量和夹角为或。
—7分。ⅱ）对称轴为。
当时，即时，解得，不合题意。
当时，即时，解得，不合题意。
当时，即时，解得。
由得到，此时。
综上，，此时17分。
高中数学教学反思
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