2019年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题 2

发布 2023-09-12 16:36:50 阅读 1485

一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上)

1、设关于x的不等式4x2+2(p2)x2p2p+1>0的解集为a,且a∩[1, 1]≠,则实数p的取值范围是___

2、将函数f (x)=sin(ωx+)的图象向右平移个单位后与g (x)=cos(ωx+)的图象重合,则当|ω|最小时,f (π

3、已知,把数列的各项排成三角形状如右图所示,记表示第行中第个数,则

4、已知f(x)=sin(+αx)+cos(-αx)是偶函数,且-π2<α<2,则满足条件的实数α有个.

5、已知△abc内接于圆o,若·=2·,且|ab|=3,|ca|=6,则cosa

6、设u、v是实数,则(u-v)2+(-2v-5)2的最小值为___

7、已知(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+y2=k2+2k-3的交点,则当x0y0取最小值时k=

8、已知点m、n分别在大小为60°的二面角α-a-β的α、β内,又点p到α、β的距离依次为2与3,则δpmn周长的最小值等于。

9、的整数部分是

10、已知非负实数a、b、c满足a+b+c=1,则a2+b2+c2+18abc的最大值为最小值为。

二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)

11.已知△abc的内切圆半径为2,且tana=-,求△abc面积的最小值。

12.数列满足:,.1)求数列的通项公式;

2)求证:数列中的任两项互质; (3)记,为的前项和,求的整数部分。

13、如图, △abc中,ab>ac,ae是其外接圆的切线,d为ab上的点,且ad=ac=ae.

求证:直线de过△abc的内心。

14、设正整数a, b, c的最大公约数为1, 并且,证明:是一个完全平方数。

14、设正整数a, b, c的最大公约数为1, 并且,证明:是一个完全平方数。

证: 设, ,其中。由于,故有。代入可得2)

由(2)知, ,又,∴.同理可证,从而有,设,为正整数,代入(2)得3)

由(3)知,又,.故成立。

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