宁波诺丁汉大学考试试题（卷）
2007－2008学年第一学期。
课程概率论学时 60
考试日期2008年1月16日上午考试时间 2 小时考试形式（闭卷）（a）卷
共4 页。2007－2008第一学期概率论解答。
第一题(两问)
解(1)设事件分别为有一人，两人，三人命中；为飞机被击落。则根据全概率公式：
得：同理，.
因此。2)设为至少有两人击中飞机，则为只有一人击中飞机。
因此。第二题(四问)
第三题（三问）
1)与不相互独立，这是因为。
因此，与不独立。
因此，.则因此与相关。
第四题(1问)
因为是相互独立的随机变量，且服从。则的联合密度函数为。
又因为。因此。
则。则。因此的联合密度函数为。
五。(两问)
解：(1)的特征函数为，的特征函数为。
因为和相互独立，因此。因此。
六。(两问)
解(1)令，则的特征函数为：
又因为相互独立，因此相互独立。
因此。2)当的特征函数收敛于。
因为在除0点外处处连续，且它是[0,1]均匀分布的特征函数，所以由逆极限定理可知，的分布函数弱收敛于[0,1]均匀分布，即以分布收敛于[0,1]上的均匀分布。
第七题(三问)．
解：（1）因为，所以。
当时，当时， ,当时。
求导得的密度函数为。
因此。3)因为的数学期望和方差存在，所以的特征函数为。
因此由逆极限定理知依分布收敛于。
八．(写出中心极限定理并证明)
中心极限定理为：
独立同分布，，且。
若，则。证：设的特征函数为，则的特征函数为。
因为，所以。
则。则。（）
因为是连续函数，且服从。
所以根据逆极限定理。
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