一、 填空：（10×2分=20分）
1.边界条件2.初始状态3.定解条件。4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题。
7.牛曼问题8.
二、选择题：（5×4分，共20分）
1．a; 2. b; 3. c; 4. c; .5. d．三、（7分）解定解问题。
解：令。由方程解出。
由方程解出4分
从而有： 叠加起来：
代入初始条件确定有3分。
四、（7分）证明：
证明： 4分。
将乘以x并求导数，得。即。3分。
五、（7分）由定解问题导出达朗贝尔公式。
解： 作代换，利用复合函数微分法则得。
代入原方程得对积分得。
是的任意可微函数),再将此式对积分得。
其中都是任意二次连续可微函数，上式就是方程的通解4分。
代入定解条件得，
解出。从而得无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。
3分。六、（7分）解柯西问题：
解：特征方程 ，两族积分曲线为。
作特征变换，原方程化成，它的通解为。
其中是两个任意二次连续可微的函数。
原方程的通解为4分。
把这两个函数代入边界条件得。
解得。从而得所求的解为。
3分。七、（7分）证明：,其中满足为常数。
证明： =4分。
由可推出。即有： =0（证完3分。
八、（7分）一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。试求均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。
解： 4分。
即： ,从而它们的被积函数恒等，即。
3分。九、（8分）求解定解问题：
解：令，代入方程得。
选择满足求得。
4分。由边界条件可知为下列定解问题：
的解。用分离变量法可求得满足齐次边界条件的解为。
利用定解条件得，
因此原定解问题的解为。
4分。十、（10分）解方程，其中n为任意实数。
解：设代入方程得。
经过适当的整理可得。
这是x的恒等式，所以x的各次幂的系数必全为零，即。
故c=0，或c=1，或c= 1（设）
取c=0，得。
5分。这时，都是任意常数。
令k=0， 2， ．2i，．．i=1，2，．．得。
令k=1， 3， ．2i ，．i=1，2，．．得。
从而得记为，c=1时，所得级数是；c= 1时，所得级数是5分。
数理方程试题及解答 一
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