《微积分下册》模拟卷三解答。
学号姓名班级。
一、单项选择题（每题2分，共计10分）
1. 设是连续函数，且，，则。
abcd.
解：选c。设的原函数是，根据题意，得：，由此得：，∴
参照上册p222 牛-莱公式）
2. 二元函数在点可微分是在点连续的（ ）条件。
a. 充分必要 b. 充分不必要 c. 既不充分又不必要d. 必要不充分。
解：选d。（参照下册p21 定理1）
3. 设矩形闭区域，，则以下结论正确的。
是 （ a. b.
c. d.
注：区域的另一种写法是：，。
两种写法实质是一样的。
解：选b。画出区域图即可。（参照下册p9 二元函数的概念）
4. 幂级数的收敛半径是。
abcd.
解：选b。，∴收敛半径是。（参照下册p89 定理2）
5. 微分方程的阶数是。
abcd.
解：选c。因为导数的最高阶是。（参照下册p108 例4）
二、填空题（每题2分，共计10分）
解：。因为积分区间关于原点对称，且为奇函数，所以。
参照上册p231 例5）
2. 方程表示的是哪种二次曲面。
解：椭圆抛物面。（参照下册p6 4⑵）
解：。。参照下册p11 二元函数的极限）
4. 写出函数的麦克劳林展开式的前五项。
解：。（参照下册p97 七个公式）
5. 微分方程的通解为 。
解：（，为任意常数）。
两端积分，得：，再次积分得：。
参照下册p124 例1）
三、计算题（每题6分，共计54分）
1. 计算。
解：。（参照上册p223 例3）
2. 计算。
解： 参照上册p232 定积分的分部积分法）
3. 计算。
解： 因此原广义积分发散。
参照上册p236 无穷限的广义积分）
4. 已知，计算，，。
解：，，参照下册p14 偏导数的计算）
5. 计算二重积分，其中是顶点分别为，，，的梯形闭区域。
解：草图如图，则。
（参照下册p48 二重积分的计算）
6. 求幂级数的和函数。
解：逐项求导：∵，
参照下册p92 幂级数的分析运算性质）
7. 求微分方程的通解。
解：原方程可化为：，分离变量，得：，两边积分，得：，即：，所求方程的通解为：（为任意常数）。
参照下册p111 可分离变量的微分方程）
8. 求微分方程的通解。
解：原方程为一阶线性非齐次方程，其中：， 通解为：（为任意常数）。
参照下册p118 一阶线性微分方程）
9. 求微分方程的通解。
解：特征方程为：，解得：，故原方程的通解为：（，为任意常数）。
参照下册p131 二阶常系数齐次线性方程的列表）
四、解答题（6分）
判断级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
解：∵ 一般项为：，∴是交错级数，又∵（，且，根据莱布尼茨定理，得：级数收敛；
由于，而发散，∴发散，故原级数条件收敛。
参照下册p83 交错级数及绝对与条件收敛）
五、证明题（10分）
设，，，证明： 。
证：∵，参照下册p31 题6）
六、应用题（10分）
某学校要围一个面积为平方米的长方形场地，正面所用材料每米造价元，其余三面所用材料每米造价元，求该场地的正面和侧面各为多少米时，所用材料造价最低？
解：设场地的正面为米，侧面为米，该题即求函数在的条件下的最小值，令，由，根据实际，可知存在最小值，故当正面长为米，侧面长为米时，材料造价最低。
参照下册p36 条件极值）
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