2011—2012年度计算机科学与技术离散数学试题。
一、填空。（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1、设x=｛a,｝,计算p（x
2、设a=,b=,c={}试分别计算a×bc×a×b
3、设a=｛2，3｝，b=｛1，2，3，4｝，则a,b间的大于关系r
4、设g是连通无向图，则g是欧拉图的充要条件是g的每节点度数为。
5、在任何（m,n）图g=(v,e)中，其所有节点度数之和等于。
6、p:今天晚上我在寝室上自习，q:今天晚上我去电影院看电影，则“今天晚上我在寝室上自习”和“今天晚上我去电影院看电影”可表示为。
7、有（z,+,是（r，+，的子代数，因为整数集合z关于。
8、设（s,*）是半群，a∈s,在s上定义运算。如下：任意x,y∈s,x。y=x*a*y,则（s，。）是。
二、试验证整数集z上的模3同余关系r=｛（x,y）∣x,y∈z且3∣（x-y）｝是z上的等价关系。（每小题15分）
三、证明：实数集r上的小于等于关系“≤”是偏序关系。（每小题12分）
四、设p,q和r是命题变元，求命题公式a=（p→q）r的合取范式。（每小题12分）
五、设（g，·）是群，证明·满足消去律。（每小题10分）
六、证明度数为奇数的节点个数必为偶数。（每小题10分）
七、设g是一棵无向树且有3个3度节点，1个2度节点，其余均为1度节点，求出该无向树共有多少个节点。（每小题9分）
2011—2012年度计算机科学与技术离散数学试题答案。
一、填空。1、p(x)=｛a｝,}
2、a×b=
c×a×b=
3、r=4、偶数。
5、边数m的2倍。
6、p∨q7、加法运算和乘法运算是封闭的。
8、半群。二、解：（1）任意的x∈z,由于3∣（x-x）,∴有（x,x）∈r，于是r具有自反性。
2）任意的x,y∈z，若（x,y）∈r，则3∣（x-y）,显然有3∣-（x-y），即3∣（x-y），于是有（y,x）∈r，因此，r具有对称性。
3)任意的x,y,z∈z, 若（x,y）∈r且（y,z）∈r，则3∣（x-y）且3∣（y-z）,从而3∣[(x-y)+(y-z)],即3∣（x-z）,∴x,z）∈r,因此r具有传递性。
因此，r是z上的等价关系。
三、证：（1）对于任意x∈r，∵x≤x,∴≤是自反的。
（2）对于任意x，y∈r,若x≤y且y≤x，则必有x=y,∴≤是反对称的。
（3）对于任意x，y，z∈r, 若x≤y且y≤z, ∴是传递的。
因此，“≤是实数集r上的偏序关系。
四、解：a=(p→q) r=(p∨q) r
p∨q) →r)∧(r→(p∨q))
p∧q)∨r) ∧p∨q∨r)
p∨r)∧(q∨r) ∧p∨q∨r)
五、证：取任意的a,b,c∈g,且a·b=a·c
g，·）是群，∴a-1存在。
∴a-1·a·b= a-1·a·c
a-1·a)·b= (a-1·a)·c
即e·b=e·c ∴b=c
即左消去律成立。
又取任意的a,b,c∈g，且a·b=c·b
且b-1存在。
a·b·b-1= c·b·b-1
a·(b·b-1)= c·(b·b-1)
a·e=c·e ∴a=c
即右消去律成立。
满足消去律。
六、设图g=（v,e）且v=v1+v2,其v1为奇数节点的集合，v2为偶数节点的集合，则∑deg(vi)= deg(v1)+ deg(v2)=2∣e∣∑deg(v1)必为偶数，从而奇数的个数只能为偶数个，∴结论成立。
七、设g有x个节点度数为1，则g的节点数为x+3+1=x+4,由无向树的性质知，g恰有x+3条边，由握手定理，有3*3+1*2+x*1=2（x+3），于是x=5
g有9个节点。
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