2004-2005考研题汇总(概率论与数理统计部分):
一、填空题。
1．设随机变量x服从参数为的指数分布，则。
析： 已知连续型随机变量x的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
解法一：由题设，知，于是。
解法二：由于，的分布函数为
故 注本题应记住常见指数分布的期望与方差等数字特征，而不应在考试时再去推算。
2．设总体服从正态分布， 总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本， 则。
析： 利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案。
解： 因为， ,故应填。
3．从数1，2，3，4中任取一个数，记为x,再从1，中任取一个数，记为y,则___
析： 本题考查的是条件分布及全概率公式的应用。
解： 由题意知， ,且，故。
二、单项选择。
1．设随机变量x服从正态分布n(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于[ ]
a) .b). c). d
析： 此类问题的求解，可通过的定义进行分析，也可画出草图，直观地得到结论。
解法一：由标准正态分布密度函数的对称性知，，于是。
即有 ，可见根据定义有，故应选(c).
解法二： 本题相当于分位数，直观地有。
o2．设随机变量独立同分布，且其方差为令，则以下选项正确的是[ ]
a) covb) .
cd析： 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：
解： cov(
故应选(a)
注： 本题(c),(d) 两个选项的方差也可直接计算得到：如。
4．设二维随机变量的概率分布为。
已知随机事件相互独立，则[ ]
a) a=0.2, b=0.3b) a=0.4, b=0.1
c) a=0.3, b=0.2d) a=0.1, b=0.4
析： 本题利用随机事件的独立性及联合分布列的性质即可得答案。
解： 由联合分布列知， ,由相互独立，则，又由，知应选(b).
5. 设为来自总体n(0,1)的简单随机样本，为简单随机样本，为样本方差，则[ ]
(ab) cd)
析： 本题考查三大分布。
解： 因为为来自总体n(0,1)的简单随机样本，所以， ,由f分布定义知 ,故应选(d)
6．设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则[ ]
a) (b)
c) (d)
析： 本题考查中心极限定理。
解： 由于对参数为的泊松分布有，故由中心极限定理知有。
故应选(b).
7．设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现随机从中抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是[ ]
a) (b)
c) (d)
析： 本题考查区间估计的内容。
解： 当总体期望，方差未知时， ,此时单个正态总体的均值的的置信区间为，带入数值，知应选(c)
三、计算、证明题。
1. 设，为两个随机事件，且， ,令。
求 (ⅰ二维随机变量的概率分布；
ⅱ)与的相关系数；
ⅲ)的概率分布。
析： 本题的关键是求出的概率分布，先确定的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(x,y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。
解： (因为， 于是 ，则有 ， 或 )，即的概率分布为：
ⅱ) 解法一：因为 ，所以与的相关系数 ．
解法二： x, y的概率分布分别为。
x 0 1y 0 1
pp 则，，dy=, e(xy)=,故，从而。
ⅲ)的可能取值为：0，1，2 ．
即的概率分布为：
注： 本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。
2．设总体x的分布函数为。
其中未知参数为来自总体x的简单随机样本，求：
）的矩估计量；
）的最大似然估计量。
析： 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。
解： x的概率密度为。
） 由于，令，解得，所以参数的矩估计量为
）似然函数为。
当时，，取对数得。
两边对求导，得。
令，可得 ，故的最大似然估计量为
3．设随机变量的分布函数为。
其中参数。 设为来自总体的简单随机样本，ⅰ)当时， 求未知参数的矩估计量；
ⅱ) 当时， 求未知参数的最大似然估计量；
ⅲ) 当时， 求未知参数的最大似然估计量。
析：本题是一个常规题型， 解法同上。
解： 当时，的概率密度为。
ⅰ) 由于
令 , 解得 ,
所以， 参数的矩估计量为 .
ⅱ) 对于总体的样本值， 似然函数为。
当时， ,取对数得。
对求导数，得。
令 ， 解得
于是的最大似然估计量为 ．
ⅲ)当时，的概率密度为
对于总体的样本值， 似然函数为。
当时，越大，越大， 即的最大似然估计值为，于是的最大似然估计量为 ．
4． 设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求。
ⅰ) 随机变量和的联合概率密度；
ⅱ)的概率密度；
ⅲ) 概率．
析： 正确理解已知条件， 即条件密度是求解本题的关键。
解： (的概率密度为。
在的条件下，的条件概率密度为
当时，随机变量和的联合概率密度为
在其它点处，有，即。
ⅱ) 当时，的概率密度为
当或时，．因此
5. 设二维随机变量的概率密度为
求：(ⅰ的边缘概率密度；
ⅱ)的概率密度；
析： 本题均转化为求积分，注意求不同积分时积分区域的确定，数常规题型。
解： (当时，；
当时，。即。
当时，；当时，即。
ⅱ) 解法一：当时，当时，；
当时，所以
解法二： 其中
当时， 当时，即。
6． 设为来自总体n(0,1)的简单随机样本，为简单随机样本，记，, 求：
(ⅰ)的方差，；
ⅱ)的协方差；
）若的无偏估计量，求常数c.
析： (用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.(注意利用正态分布的性质简化计算。 （常规无偏估计的计算，注意利用期望的性质。解：(ⅰ
上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以服从正态分布，由于， 所以
由于 =所以。
考研概率试题03 08答案
2003 2008概率论与数理统计考研真题解答。2003年概率论与数理统计试题解答。数学一。一 填空题。二 选择题。14.c.十一 1 x的可能取值为0，1，2，3，x的概率分布为。k 0，1，2，3.即x 0 1 2 3p因此 2 设a表示事件 从乙箱中任取一件产品是次品 由于，构成完备事件组，因...
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