圆台的侧面积公式：，其中，为圆台的上下底面的半径；
球的表面积；
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是( )
a． b．
c． d．2．如图1，△ abc为三角形，//平面abc且3== ab,则多面体△abc -的正视图（也称主视图）是（ ）
3．一个正方体的展开图如图所示，a、b、c、d为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）
ab. c. ab与cd所成的角为 d. ab与cd相交。
4．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：① 与相交与相交或重合 ④与平行与平行或重合，其中不正确的命题的个数是（ ）
a、4个 b、3个 c、2个 d、 1个
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是。
a． b． c． d．
6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是。
abc. d.
7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为。
ab. cd.
8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
a． b． c． d．
9．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是 （
a．84cm3 b． 92cm3
c．100 cm3 d．108cm3
10．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（ ）
a、 b、 c、 d、
二、填空题(本大题满分20分，每小题5分，各题只要求直接写出结果。)
11．如图是边长为的为正方形的对角线，将绕直线旋转一周后形成的几何体的体积等于。
12．已知正四棱柱的体对角线的长为，且体对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于。
13．下列各图是正方体或三棱锥，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图象共有填写序号）
14．在平面几何里，有勾股定理：“设△abc的两边ab，ac互相垂直，则ab2+ac2=bc2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。
可以得出的正确结论是：“设三棱锥a—bcd的三个侧面abc、acd、adb两两相互垂直，则。
三、解答题：（本大题满分80分）
15．（本小题12分）已知函数，.
ⅰ) 求的值若，求。
16．（本小题12分）如图，棱柱的侧面是菱形，， 是的中点，证明：
ⅰ）平面。ⅱ）平面平面；
17．（本小题14分）如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，∠bac＝30°，bm⊥ac交ac于点m，ea⊥平面abc，fc∥ea，ac＝4，ea＝3，fc＝1.
1)证明：em⊥bf；
2) （文科）求三棱锥的体积。
理科）求平面bef与平面abc所成的锐二面角的正切值。
18．（本小题14分）如图所示，pa⊥平面abcd，四边形abcd是矩形，pa=ad=a，m，n分别是ab，pc的中点，1）求平面pcd与平面abcd所成二面角的大小；
2）求证：mn⊥平面pcd；
3）当ab的长度变化时，求异面直线pc与ad所成角的可能范围。
19、（本小题14分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是（亿元）和（亿元），它们与投资额（亿元）的关系有经验公式，,其中，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为（亿元）．
1) 求关于的函数解析式：
2)怎样投资才能使总利润的最大值？
20．（本小题14分）已知且，数列满足，，（令。
求证： 是等比数列；
求数列的通项公式；
若，求的前项和．
参***。cdcad，ccacb，，8，④，
15．解：4分。
因为，所以，
所以，所以。 …12分。
16．解：（ⅰ设bc1交b1c于点e，连结de，则de是平面a1bc1与平面b1cd的交线，又e是bc1的中点，所以d为a1c1的中点。
a1b//de. 又
a1b//平面b1cd………6分。
（ⅱ）因为侧面bcc1b1是菱形，所以。
又已知。所又平面a1bc1，又平面ab1c ，所以平面平面a1bc112分。
17．解。∵ea⊥面abc,bm面abc,∴ea⊥mb
mb⊥ac,ac∩ea=a,∴mb⊥面acef
em面acef,∴em⊥mb
在直角梯形acef中，ea=3,fc=1,ac=4
ef=在rt△abc中， ∵bac＝30°,bm⊥ac
am=3,cm=1
em=,mf=
ef2=em2+mf2
em⊥mf, 又mb∩mf=m
em⊥面mbf, ∵bf面mbf
em⊥bf………8分。
(文科) 由(1)知， mb⊥面acfe ∴
在直角梯形acef中，……14分。
理科)延长ｅｆ交ａｃ于ｈ，连结ｂｈ
过ｃ做ｃｇ⊥垂足ｇ
ｃ∥ｅea⊥面abc
ｆｃ⊥面abc，ｂｈ面aｂc
ｂｈ⊥面ｆcｇ，∵面ｆcｇ
∠ｃｇ为平面bef与平面abc所成的二面角的平面角。
在直角梯形acef中，ｃｈ
在△ｂｃ中。
cg=1,在rt△cgf中，fc=1
平面bef与平面abc所成的锐二面角正切值为1………14分。
18．解 （1） pa⊥平面abcd，cd⊥ad，∴pd⊥cd。
故∠pda是平面pcd与平面abcd所成二面角的平面角。
在rt△pad中，pa⊥ad，pa=ad，∴∠pda=45°……3分。
2）如图，取pd中点e，连结ae，en，又m，n分别是ab，pc的中点，en∥cd∥ab ∴amne是平行四边形。
mn∥ae。
在等腰rt△pad中，ae是斜边的中线。
ae⊥pd。
又cd⊥ad，cd⊥pd ∴cd⊥平面pad，cd⊥ae，又pd∩cd=d，∴ae⊥平面pcd。
mn⊥平面pcd。……8分。
3）∵ad∥bc，所以∠pcb为异面直线pc，ad所成的角。
由bc ⊥ab，bc⊥pa，pa∩ab=a，∴bc⊥面pab，又pb面pab ，∴pb⊥bc，设ab=x(x>0)。∴tan∠pcb==。
又∵∈（0，∞）tan∠pcb∈（1，+∞
又∠pcb为锐角，∴∠pcb∈（，
即异面直线pc，ad所成的角的范围为14分。
19． 解：(1)根据题意，得： ∈0，5]，．4分。
2)令，则且
8分。当时，即，当时，，此时。
当时，即，当时，，此时 12分
答：当时，甲项目投资亿元，乙项目投资亿元，总利润的最大值是亿元；当时，甲项目投资亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是亿元 ……14分。
20．【解析】（1）则，，所以是等比数列。
3分。2）①当时，由等比数列性质可得。
两式联立解得6分。
当时，由①可知，即，等式两边同时除以，得，即。
数列是以1为公差的等差数列，,
综上所述10分。
3）因为，由⑵可得。
14分。
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