一、证明题（10分）
1) (p∧q∧ac)∧(ap∨q∨c) (a∧(pq))c。p<->q=(p->q)合取（q->p）
证明： (p∧q∧ac)∧(ap∨q∨c)
p∨q∨a∨c)∧(a∨p∨q∨c)
(p∨q∨a)∧(a∨p∨q))∨c反用分配律。
(p∧q∧a)∨(a∧p∧q))∨c
a∧((p∧q)∨(p∧q)))c再反用分配律。
a∧(pq))∨c
a∧(pq))c
2) (pq) pq。
证明：(pq)((p∧q))(p∨q))pq。
2、分别用真值表法和公式法求(p(q∨r))∧p∨(qr))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(p(q∨r))∧p∨(qr))
p∨q∨r)∧(p∨(q∧r)∨(q∧r))
p∨q∨r)∧(p∨q)∧(p∨r))∨q∧r))分配律。
p∨q∨r)∧(p∨q∨q)∧(p∨q∨r)∧(p∨r∨q)∧(p∨r∨r)
p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
∧使（非p析取q析取r）为0所赋真值，即100，二进制为4
所以，公式(p(q∨r))∧p∨(qr))为可满足式，其相应的成真赋值为：成假赋值为。
真值表法：由真值表可知，公式(p(q∨r))∧p∨(qr))为可满足式，其相应的成真赋值为：成假赋值为。
三、推理证明题（10分）
1）p∨q，q∨r，rsps。
证明：1)p附加前提。
2)p∨qp
3)qt(1)(2)，i（析取三段论）
4)q∨rp
5)rt(3)(4)，i（析取三段论）
6)rsp7)st(5)(6)，i（假言推理）
8)pscp
2) x(p(x)q(y)∧r(x))，xp(x)q(y)∧x(p(x)∧r(x))
证明（1）xp(x)
2)p(a)
3)x(p(x)q(y)∧r(x))
4)p(a)q(y)∧r(a)
5)q(y)∧r(a)
6)q(y)
7)r(a)
8)p(a)
9)p(a)∧r(a)
10)x(p(x)∧r(x))
11)q(y)∧x(p(x)∧r(x))
五、已知a、b、c是三个集合，证明(a∪b)－c＝(a－c)∪(b－c) （10分）
证明：因为。
(a∪b)－c∈(a∪b)－c
(a∪b)∧c
∈a∨∈b)∧c
∈a∧c)∨(b∧c)
(a－c)∨∈b－c)
(a－c)∪(b－c)
所以，(a∪b)－c＝(a－c)∪(b－c)。
八、证明整数集i上的模m同余关系r=是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。x(modm)=y(modm)
证明：1）x∈i，因为（x-x）/m=0，所以xx(mod m)，即xrx。
2）x,y∈i，若xry，则xy(mod m)，即（x-y）/m=k∈i，所以（y - x）/m=-k∈i，所以yx(mod m)，即yrx。
3）x,y,z∈i，若xry，yrz，则（x-y）/m=u∈i，（y-z）/m=v∈i，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈i，因此xrz。
九、若f:a→b和g:b→c是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。
证明：因为f、g是双射，所以gf：a→c是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：c→a。同理可推f-1g-1：c→a是双射。
因为∈f-1g-1存在z（∈g-1∈f-1）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。
一、证明题（10分）
1)((p∨q)∧(p∧(q∨r)))p∧q)∨(p∧r)t
证明： 左端((p∨q)∧(p∨(q∧r)))p∨q)∧(p∨r))(摩根律)
((p∨q)∧(p∨q)∧(p∨r))∨p∨q)∧(p∨r))(分配律)
((p∨q)∧(p∨r))∨p∨q)∧(p∨r)) 等幂律)
t (代入)
2) xy(p(x)q(y))(xp(x)yq(y))
证明：xy(p(x)q(y))xy(p(x)∨q(y))
x(p(x)∨yq(y))
xp(x)∨yq(y)
xp(x)∨yq(y)
xp(x)yq(y))
二、求命题公式(pq)(p∨q) 的主析取范式和主合取范式（10分）
解：(pq)(p∨q)(pq)∨(p∨q)
p∨q)∨(p∨q)
p∧q)∨(p∨q)
p∨p∨q)∧(q∨p∨q)
p∨q)m1析取要使之为假，即赋真值001，即m1
m0∨m2∨m3使之为真。
三、推理证明题（10分）
1)(p(qs))∧r∨p)∧qrs
证明：(1)r
2)r∨pp
3)pt（1）（2）析取三段论。
4)p(qsp
5)qst（3）（4）i假言推理。
6)qp7)st（5）（6）i假言推理。
8)rscp
2) x(a(x)yb(y))，x(b(x)yc(y)) xa(x)yc(y)。
证明：(1)x(a(x)yb(yp
(2)a(a)yb(yt(1)es
3)x(b(x)yc(yp
4)x(b(x)ct(3)es
5)b()ct(4）us
6)a(a)bt(2)us
7)a(a)ct(5)(6)i假言三段论。
8)xa(x)ct(7)ug
9)xa(x)yc(yt(8)eg
四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。
解 ：设p：今天天气好，q：考试准时进行，a(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：pxa(x)，xa(x)qqp。
1)pxa(xp
2)pxa(xt(1)e
3)xa(x)pt(2)e
4)xa(x)qp
5)(xa(x)q)∧(qxa(xt(4)e
6)qxa(xt(5)i
7)qpt(6)(3)i
五、已知a、b、c是三个集合，证明a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c) （10分）
证明： x a∩（b∪c） x a∧x（b∪c） x a∧（xb∨xc）（ x a∧ xb）∨（x a∧xc） x（a∩b）∨x a∩c x（a∩b）∪（a∩c）∴ab∪c）=（a∩b）∪（a∩c）
六、a=，b=，r=，求其关系矩阵及关系图（10分）。有就是1，没就是0
七、设r=，求r(r)、s(r)和t(r)，并作出它们及r的关系图（15分）。
r(r)=（自反闭包）
s(r)=（对称闭包）
t(r)=（传递闭包）
九、设f：ab，g：bc，h：ca，证明：如果hgf＝ia，fhg＝ib，gfh＝ic，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。
解因ia恒等函数，由hgf＝ia可得f是单射，h是满射；因ib恒等函数，由fhg＝ib可得g是单射，f是满射；因ic恒等函数，由gfh＝ic可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。
由hgf＝ia，得f－1＝hg；由fhg＝ib，得g－1＝fh；由gfh＝ic，得h－1＝gf。
离散数学考试题
一 选择题 10 2 1.设l x x是演员，j y y是老师，a x,y x佩服y.那么命题 所有演员都佩服某些老师 符号化为 ab c d 2.令f x x是有理数，g x x是实数。将命题 所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数 符号化为 3 设r是集合a 上的二元关系，r 则r具有关系...
离散数学考试试题a
一。8分 求与公式 x2 or not x1 x3 逻辑等值的主合取范式和主析取范式。二。8分 判断下列各公式是 1.永真式 2.永假式 3.其它。1 p q r q p r 2 not p or q p and p and q 3 not p or q and not q or not r and...
离散数学考试试题
天水师范学院 2012 2013学年第1学期。数统学院数应专业 10级 离散数学 考试试题。注 可参考笔记与课本。一 20分 一个排队线路，输入a,b,c,输出fa,fb,fc.本线路在同一时间只能有一个信号通过，若同时。有两个或两个以上信号申请输出时，则按a,b,c的顺序输出，写出fa,fb,fc...