一．选择题（10*2）
1.设l(x)：x是演员，j(y)：y是老师，a(x,y)：x佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )
(ab) (c) (d)
2.令f(x):x是有理数，g(x):x是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （
3．设r是集合a=上的二元关系，r=，则r具有关系的哪些性质（ ）
a.自反性、反对称性b.反自反性、传递性。
c.自反性、对称性d.反对称性、传递性
4．设a＝，b＝，c＝，则a×（b∩c）为（ ）
a． b． c． d．
5．设a=，a上的等价关系r=∪ia，则对应于r的a的划分是（ ）
a．,,c．,,d．,}
6．设a＝，则a的幂集p（a）为（ ）
a． b．,}c．} d．,,
7、设a, b, c都是集合，如果ac＝bc，则有。
(a) a＝b (b) ab (c) 当a－c＝b－c时，有a=b (d) 当c=u时， 有ab
8．集合a＝，a上的整除关系是一个偏序关系，则元素10是集合的（ ）
a．最大元； b．最小元； c．极大元； d．极小元。
9．设r为实数集，映射f：rr，f（x）＝-x2+2x-1，则f是（ ）
a．单射而非满射 b．满射而非单射 c．双射 d．既不是单射，也不是满射。
10.集合a=，a上的一个划分，则对应的等价关系（ ）
ab． c． d．
2．填空题（10*1 每个空一分）
1..设置f(x)：x为整数，g(x)：x是自然数，则命题“并不是每一个整数都是自然数”符号化为。
2.集合的表示方法有两种法和法。
3.设f＝，g＝，则。
是整数集合，r是z上的整除关系，则r具有的性质是。
5．设集合a＝，a上的二元关系r＝，则二元关系。
6．全集e＝，a＝，b＝，c＝，则a b＝__p（a） p（c
7.设r是集合a上的二元关系，如果关系r同时具有___对称性和___则称r是等价关系。
三．简答题。
1.试将一阶逻辑公式化成前束范式。
2. 设r和s是集合上的关系，其中，试求：（1）写出r和s 的关系矩阵；（2）计算。
3、设集合a＝，r是a上的整除关系，1. 画出偏序集(a, r)的哈斯图；
2. 写出a的子集的上界，下界，最小上界，最大下界；
3. 写出集合a的最大元，最小元，极大元，极小元。
4. r＝｛｜x≡y（mod３），x，y∈z｝是整数集合z上模3的同余关系(congruence relation) ，可以证明r是等价关系，求各元素等价类及商集。
5. 化简集合表达式：((abc)(ac))－c(c－b)－a)
设v1= ：是正实数r+上的乘法× ；
v2= ：是实数r上的加法+。
令 f: r+ r f(x)=lgx ，证明f是 v1 到 v2 的同构映射。
7.设s=r-，s上定义运算*：
a*b=a+b+ab，试证明是群。答案：一：
bbdbd dccda
二：∧﹁g(x))
2.列举；描述；
4.__自反性、反对称性和传递性__。
7.自反性，传递性。
三．1.解：
解：（1）
3 . 集合a＝(1) 半序集(a, r)的哈斯图。
2) 子集无上界，下界是1,2，无最小上界，最大下界是2.
3) a无最大元，最小元是1，极大元是8, 12，极小元是1。
解：各元素等价类如下(其中k∈z)：
商集：z／r＝｛［0］，［1］，［2］｝
x|x=3k} ，
(abc)(ac))－c(c－b)～a)
(ac)－（c～a）(两次用吸收律。
((ac)(～ca)
(a～c)(c～c)a(ac)
(a～c)a=a
证明：1)同态关系式。
x ,y∈ r+ ，f(x×y)=lg(x×y)=lgx+lgy=f(x)+f(y)
2)f的性质。
单射性： x ,y∈ r+ ，若x ≠ y，则lgx ≠ lgy；
满射性： y∈ r， x=10y ∈ r+ ，使得 f(x)=lg(10y)=y；
综上知，f 是r+ r上的双射函数，即v1 ≌ v2
证明： 1)运算*在s上封闭：
任意a，b∈s，有a*b=a+b+ab∈r，且a≠ -1，b≠ -1。
若a*b= -1即a+b+ab= -1，则a= -1或b= -1，与题设矛盾，故a*b≠ -1.
所以a*b∈s，即运算*在s上封闭。
2) 运算*满足结合律：
任意a，b，c∈s，有。
(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c
=a+b+c+ab+ac+bc+abc,且。
a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)
=a+b+c+ab+ac+bc+abc,所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。
3) 存在幺元：
若幺元e存在，则对任意a∈s，满足。
a*e=aa+e+ae=a
e*a=a 即 e+a+ea=a
得 e = 0 ,即幺元存在且为0。
4) 每个元素存在逆元：
对于任意a∈s,设a-1存在且a-1 ∈s ，则。
a*a^-1=0 a+a^-1+a*a^-1=0
a^-1*a=0 即 a^-1+a+a^-1*a=0
得a-1 =(a)/(1+a) ∈s。
综上知是群。
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