电子科技大学二零零九至二零一零学年第一学期期中考试。
概率论与数理统计课程考试题卷 （120分钟）考试形式：闭卷笔试考试日期 200 9 年 11月 8 日。
一、简答题(每题10分)
1. 设a、b、c三个事件两两独立，并且满足，问a、b、c是否相互独立？给出理由。
解 a、b、c三个事件两两独立则有。
p( ab ) p( a ) p( b ),p( ac ) p( a ) p( c ),p( bc ) p( b ) p( c ) 4分）
同时成立。又因。
（8分）满足三个事件相互独立的定义， 故a、b、c相互独立。 （10分）
2. 设随机变量x 服从正态分布n(0,1), 对给定的α (0<α<1)，上侧分位数uα满足。 若求x的值。
解， （6分）
因x的概率曲线关于y轴对称， 故 （8分）
（10分）
3. 设二维随机变量的联合概率密度是。
请写出z=x+y的概率密度。
解由密度函数可知服从二维正态分布， （2分）故， ,而且x与y相互独立， （5分）根据正态分布的可加性， ,8分）其概率密度函数为。
（10分）4. 假设是同一随机试验的随机事件，其概率分别为， 对以下三种条件分别计算随机事件少有一个发生的概率：
(1)是任意的随机事件； (2)互不相容；(3)相互独立。
解 1）是任意的随机事件，则。
（3分）2）若互不相容，由概率的有限可加性可得。
p = p(a1)+ p(a2)+ p(a3) +p(a4) =p1+p2+ p3 +p4 （6分）
3）若相互独立，其对立事件也相互独立， 由对偶原理和概率性质可得。
（10分）二、(12分)某系统由3类元件组装而成， 其中ⅰ类元件占10%，ⅱ类元件占40%，ⅲ类元件占50% ,已知t小时后各类元件的损坏率分别为：30%, 25%, 10%, 该系统运行t小时后出现了故障， 问从哪类元件开始查找系统故障最合理？
解设 a=｛系统出现故障｝，b1=｛是ⅰ类元件损坏｝，b2=｛是ⅱ类元件损坏｝，b3=｛是ⅲ类元件损坏｝
应从考虑哪类元件损害造成系统故障的可能性最大，需计算比较概率的大小。 （3分）
因b1，b2，b3构成样本空间的划分，且p(bi)>0, i=1,2,3,由全概率公式 （5分）
0.1×0.3+0.4×0.25+0.5×0.1=0.187分）
根据贝叶斯公式。
（10分）
因第ⅱ类元件造成系统故障的可能性最大， 故应从第ⅱ类元件开始查找系统故障。 （12分）
三、(12分)已知随机变量x的分布函数为。
1) 写出x的分布律； (2)计算概率和，(3)计算条件概率。
解 (1)根据分布函数的间断点知，x的可能取值为－1，1，2 （2分）
（8分）2),.10分）
3) （12分）
四、(12分)一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为(n = 0,1,2,…;0), 产品为优质品的概率为p(0解设x为两次故障间生产出的产品件数， 由题设知x的分布律为。
（3分）设y表示生产线在两次故障间生产k件优质品件数。
在生产出n件产品的条件下，即“”的条件下， 随机变量y的条件分布律为。
（6分）故的联合分布律为。
8分）生产线在两次故障间生产k件优质品的概率为。
（10分）（12分）
五、(12分)设区域，随机变量(x, y)在g上服从均匀分布，求的概率密度。
解 (x, y)的概率密度为。
（2分）z的分布函数为
（4分）（7分）
10分）（12分）
六、随机变量(x, y)在d上服从均匀分布，其中，讨论x与y是否相互独立。 讨论的存在区间，并在的条件下求。
解 (x, y)的联合概率密度为 （2分）
因=（4分）
(6分)当时 ，故x与y不相互独立。
当，因，有定义。且 （9分）
（12分）
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