班级姓名学号。
满分100分，考试时间120分钟）
一．选择题（每题3分，共30分）
1、是集合到的函数，且，则不同的函数有（ b ）个。
a. 13b. 19c. 21d. 23
解析：由题意知可以三种情况：①两个2，两个0；②一个2，两个1，一个0；③4个1，所以不同的函数有。
2、表示不超过的最大整数，则方程的解得个数为( b )
abcd．
解析：是整数，则是整数，所以是整数，所以原方程等价于。
3、设，，若，则实数的取值范围为（ d ）
abcd．
解析：令，则需满足。
4、集合a= 所有子集的元素之和为 ( c )
a.337920b.168960c.84480d.42240
解析：集合a共有10个元素，由子集的定义可知，若，则在a的所有子集中，包含元素的子集个数共有，所以
5、函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ d ）
a、是偶函数 b、是奇函数 c、 d、是奇函数。
解析：因为。
即是奇函数。
6、设函数对于满足的一切，则的取值范围是 ( a )
abcd.
解析：（特殊值法）代入即可判断。
7、已知函数满足对所有的实数，都有，则的值为（ a ）
abcd．
解析：令，令代入原等式得，
8、若函数有两个不同的零点，且，那么在两个函数值中（ d
a．只有一个小于1 b．至少有一个小于1 c．都小于1 d．可能都大于1
解析：（特殊值法）取即可判断。
9、已知， ,则（ b ）
abcd．
解析：由公式即可知答案。
10、已知函数，则a的取值范围是 （ c ）
a. bc.或 d.
解析：由即可得到c
二、填空题（每题5分，共40分）
11、定义非空集合a的真子集的真子集为a的“孙集”,则集合u=的孙集的个数为 180 .
解析：集合u的真子集分4类：①5个含有4个元素的真子集；②10个含3个元素的真子集；③10个含2个元素的真子集；④5个含1个元素的真子集。所以由定义知集合u的孙集个数为。
12、 设集合为全集，设， ，则方程的解集为。
解析：等式等价于或。
即有。13、满足的集合的对数为 81 .
解析：对里的每一元素所属情况只有3种分类：①a-b；②b-a；
。即每一元素有3种情况，共有4个元素，则集合a，b的对。
数为。14、如图所示，五边形中，则五边形的面积为 4
解析：连结，将按顺时针方向，以点a为轴旋转，使。
与重合，旋转后点分别变为点，由题意可知经旋转。
后是延长线段的一部分，并且容易证得旋转后，，所以原五边形的面积。
15、已知集合，对它的任一非空子集a，可以将a中的每一个元素都乘以再求和(例如，a=，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对s的所有非空子集，这些和的总和为 -512 .
解析：与填空题第4题类似，本题是所有子集的偶元素和与奇元素和之差，即有。
16、函数的定义域为，并且对任意正实数，都有则 2011 .
解析：用和代入上述函数方程得。
17、计算2660 .
解析。18、定义在r上的函数，则方程的解为。
解析：由题意知方程与方程同解，所以的解为。
三、解答题（每题10分，共30分）
19、已知函数，且；请回答下列问题：
（1）求的解析式及其定义域；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论。
解：（1）因为，所以有。
又因为，所以，而在原函数内层函数里因为，所以的定义域为；所以。
（2）由（1）知，且，所以题目为判断函数在上的单调性。
设，则。因为，所以，，所以，所以，即，也即，所以在上是单调递增函数。
20、是否存在常数使得的图像经过点（-1,0），且对于任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有符合题意的，若不存在请说明理由。
解：假设存在这样的常数符合题意，由图像经过点（-1,0），代入得， 即；考虑到不等式在上恒成立，当且仅当时等号成立，此时必有，所以有；对任意的，要使得不等式恒成立等价于对任意的恒成立，此不等式组化简得，联合，综上解得：。所以存在这样的常数符合题意。
21、已知为非零实数，，且，若当时，对于任意实数，均有，试求出的解析式及其值域。
解：由题设，对任意的实数，有，所以，化简得，由于上述方程对恒成立，故，且，所以。
又，即19,97是方程的两个根，即19,97是方程的两个根，故由韦达定理得，结合，得，从而，于是的值域为。
2019届高一年级数学竞赛摸底卷 一
班级姓名学号。满分100分，考试时间120分钟 一 选择题 每题3分，共30分 1 是集合到的函数，且，则不同的函数有 个。a.13b.19c.21d.23 2 表示不超过的最大整数，则方程的解得个数为 abcd 3 设，若，则实数的取值范围为 abcd 4 集合a 所有子集的元素之和为 a.337...
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