知识结构框图。
一、二次函数的概念。
形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，是自变量，分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．x可以取全体实数．
二、二次函数的一般表达式。
1、 一般式：（，为常数，）；
2、 顶点式：（，为常数，）其中；
3、 两根式：
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
三、二次函数的图像性质(轴对称图形)
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
当时，有最大值．
四、二次函数的图像与各项系数之间的关系。
1. 二次项系数。
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数。
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
在的前提下，结论刚好与上述相反，即。
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
3. 常数项。
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
五、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。
图像与轴的交点个数：
1 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．
和的一半恰好是对称轴的横坐标。
当时，图像与轴只有一个交点；
当时，图像与轴没有交点。
当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
六、二次函数的几个特殊的基本形式。
1. 二次函数基本形式：的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：3. 的性质：
结论：上加下减。
总结：4. 的性质：
结论：左加右减。
总结：4. 的性质：
总结：七、二次函数图象的平移。
1. 平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
2. 平移规律。
在原有函数的基础上“ “左加右减，上加下减”．
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