四川倪先德。
二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础.熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证.
二次函数的解析式有三种基本形式:
1、一般式:y=ax+bx+c (a≠0).
2、顶点式:y=a(x-h) +k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.
3、交点式:y=a(x-x)(x-x) (a≠0),其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标.
求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式:
1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式.
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式.
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式.
**问题,典例指津:
例1、已知二次函数的图象经过点和.求这个二次函数的解析式.
分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax+bx+c (a≠0).
解:设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0)
依题意得解这个方程组得:
这个二次函数的解析式为y=2x+3x-4.
例2、已知抛物线的顶点坐标为,与轴交于点,求这条抛物线的解析式.
分析:此题给出抛物线的顶点坐标为,最好抛开题目给出的,重新设顶点式y=a(x-h) +k (a≠0),其中点(h,k)为顶点.
解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x-4)-1 (a≠0)
又抛物线与轴交于点.
a(0-4)-1=3 ∴a=
这个二次函数的解析式为y= (x-4)-1,即y=x-2x+3.
例3、如图,已知两点a(-8,0),(2,0),以ab为直径的半圆与y轴正半轴交于点c.求经过a、b、c三点的抛物线的解析式.
分析:a、b两点实际上是抛物线与x轴的交点,所以可设交点式y=a(x-x)(x-x) (a≠0),其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标.
解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x-2)
又连结ac、bc,利用射影定理或相交弦定理的推论易得:
oc=ac·bc=8×2 ∴oc=4
即c(0,4).
a(0+8)(0-2)=4 ∴a=
这个二次函数的解析式为y= (x+8)(x-2),即y=x-x+4.
变式练习,创新发现。
1、在图的方格纸上有a、b、c三点(每个小方格的边长为1个单位长度).
(l)在给出的直角坐标系中分别写出点a、b、c的坐标;
(2)根据你得出的a、b、c三点的坐标,求图象经过这三点的二次函数。
的解析式.2、已知抛物线的顶点坐标为,与轴交于点,求这条抛物线的解析式.
3、已知抛物线过a(-2,0)、b(1,0)、c(0,2)三点.求这条抛物线的解析式.)
2、y=(x-2) +1,即y=x-4x+5.
3、y=-(x+2)(x-1),即y=-x-x+2.
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