4）方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地， 方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且。
若，，显然在上没有零点， 所以
令得 当时， 恰有一个零点在上；
当即时，也恰有一个零点在上；
当在上有两个零点时， 则。
或。解得或。
因此的取值范围是或 ；
二次函数专题。
1、 两根小于2，求a的取值范围 a<1
2、 两根大于2，求a的取值范围
3、 两根一个比2大，一个比2小，求a的取值范围 a>1
4、 两根在（-2，3）内，求a的取值范围。
5、 两根，求a的取值范围16、 有且只有一个实根在（-2，1）内，求a的取值范围。
方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地， 方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且。
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
1)当a>0时，若，则；，.
2)当a<0时，若，则，若，则，.
8.一元二次方程的实根分布。
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则。1）方程在区间内有根的充要条件为或；
2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
3）方程在区间内有根的充要条件为或。
9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据。
1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是。
3)恒成立的充要条件是或。
例1已知函数（为实常数），1）若，求的单调区间；
2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；
3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解析：(1),
的单调增区间为()，0) 的单调减区间为(-)
2)由于，当∈[1,2]时，
10 即 20 即
30 即时。
综上可得 3) 在区间[1,2]上任取、，且。则。
(*)可转化为对任意、
即。10 当。
20 由得解得。
30 得 所以实数的取值范围是
例2设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈r．
1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；
2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．
3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．
解因为f(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在区间(－∞t]上单调减，在区间[t，∞)上单调增，且对任意的x∈r，都有f(t＋x)＝f(t－x)，1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1．
当x∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，2]；
当x∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，10]；
所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，103分。
2)“对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5”．
若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，所以f(x)在区间(－∞1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增．
当1≤a＋1，即a≥0时，由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得。
3≤a≤1，从而0≤a≤1．
当1＞a＋1，即a＜0时，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)2＋1≤5，得。
1≤a≤3，从而1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[－1，16分。
3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为m，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等价于“m－m≤8”．
当t≤0时，m＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由m－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．
从而t∈．当0＜t≤2时，m＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2．
由m－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得。
4－2≤t≤4＋2．
从而4－2≤t≤2．
当2＜t≤4时，m＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．
由m－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－2≤t≤2．
从而2＜t≤2．
当t＞4时，m＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由m－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．
从而t∈．综上，a的取值范围为区间[4－2，210分。
例3已知定义在上的奇函数，当时，．
1）求时，的解析式；
2）问是否存在这样的正数，当时，，且的值域为？若存在，求出所有的的值，若不存在，请说明理由．
18． 解：（1）设，则，于是，又为奇函数，所以。
即时，；2）分下述三种情况：①，那么，而当时，的最大值为1，故此时不可能使．②若，此时若，则的最大值为，得，这与矛盾；③若，因为时，是单调减函数，此时若，于是有。
考虑到，解得，，综上所述。
例4已知二次函数满足条件，及．
1）求函数的解析式；
2）在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的取值范围；
解：（1）令
二次函数图像的对称轴为．∴可令二次函数的解析式为．
由。二次函数的解析式为
另解：⑴ 设，则。
与已知条件比较得：解之得，又，……8分。
2）在上恒成立在上恒成立
令，则在上单调递减
例5已知函数是偶函数。
1）求的值；
2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围。
解：（1）∵是偶函数，对任意，恒成立2分。
即：恒成立，∴ 5分。
2）由于，所以定义域为，也就是满足7分。
函数与的图象有且只有一个交点，方程在上只有一解。
即：方程在上只有一解9分。
令则，因而等价于关于的方程。
*）在上只有一解10分。
1 当时，解得，不合题意11分。
2 当时，记，其图象的对称轴。
∴函数在上递减，而。
∴方程（*）在无解13分。
3 当时，记，其图象的对称轴。
所以，只需，即，此恒成立。
此时的范围为15分。
综上所述，所求的取值范围为16分。
巩固练。1．定义在r上的奇函数有三个零点，则下列关系中正确的是（b）
a． b． c． d．以上三种关系都可能成立。
2．二次函数是偶函数，它有两个零点，则=0．
3．函数的零点有（d）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
4．若函数有零点，则实数的取值范围是．
5．已知函数，当时，的值有正也有负，则实数的取值范围是．
6．已知关于的方程的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，求实数的值．
解：设，则同时成立，解得．
7.对于函数若则函数在区间内( )
a. 一定有零点b. 一定没有零点。
c. 可能有两个零点d. 至多有一个零点。
8.若函数在区间(2, 4)内有零点，则下列说法正确的是d )
a. 在区间(2, 3)内有零点b 在区间(3, 4)内有零点。
c. 在区间(2, 3)或(3, 4)内有零点 d. 在区间(2, 3]或(3, 4)内有零点。
9.函数的零点个数是d )
a. 0 b. 1c. 2 d. 3
二次函数练习题 2012-5-31
班级姓名___
1、在同一直角坐标系中与的图象的大致是( )
2、二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则二次函数的关系式为（ ）
a. b.
c. d.
3、 方程的实根的个数为（ ）
a）1b）2c）3d）4
4、的对称轴是，且经过点．则的值为0 ｃ．1 ｄ．2
5、“”是函数恒为负的（ ）
a）充分不必要条件b）必要不充分条件。
c）充分且必要条件d）既不充分又不必要条件。
6、函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是（ ）
a b c d
7、已知函数在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (
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