陕西洋县中学（723300） 刘大鸣。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法。高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等。有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等。
高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等。
本系列专题通过概念与规律、 基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实。
概念与规律】
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当**，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”.
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者在三角变换和圆锥问题的简化运算等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；解析几何中的韦达定理和弦长公式；……等等。
基础题型再现。
1若实数a,b,c满足则的最大值为
2方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是___
a. 1 c. k∈r d. k＝或k＝1
3 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为___
a. 1b. －1c. 1或－1 d. 0
4 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是___
abcd. [3]
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点p(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝__
6 双曲线的两个焦点f1，f2，点p在双曲线上，若，求p到x轴的距离。
思维启迪】
1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，
2：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选b。
3：已知等式配方凑成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解，选c。
4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，选d。
5 根与系数的关系中配凑整体思维，，解得3－.
6 构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入。设点p到轴的距离为l，，则有，，配方用双曲线定义，整体代入解得 l.
经典问题回放】
例1 rt△abc 中，c=900，ac=8，bc=6，p是△abc内切圆上的动点，试求点ｐ到△abc的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值。
思维展示】如何解决最值？利用坐标法，建立函数关系，只有用配方法才能化归一次函数区间上的最值解决。
如图建系，则ａ（８0），ｂ0，６）0，0）内切圆半径r===2,内切圆圆心（２，其内切。
圆方程（x-22 +(y-2)2 =4,设p(x,y) 是圆上动点， 对目标函数配方化简，
则s==(x-8)2 +y2+x2 +(y -6)2+x2+y2=
3[(x-2)2+(y-2)2]-4x-76=3×4-4x+76=88-4x在[0,4]上的最值，由单调性得 s max=88, smin=72
例2 求函数的最大值。
思维展示】如何沟通变量之间的关系选主元？ 只有配方才有，沟通变量的关系，换元将问题化归为二次函数在区间上的问题求解。
例3 解方程
思维展示】原方程化为，两边平方得至此，面对复杂的方程形式，思路困惑，难以继续。
事实上，只要注意方程的特征和配方法的应用，配凑出个整体的平方形式，可化归为二次方程求解，原方程关于配方整理有为所求根。
例4设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+7成立，求实数k的取值范围。
思维展示】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,如何构建不等式？只有配方，7， 解得k≤－或k≥，又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴k－8≥0即k≥2或k≤－2，综合起来，k的取值范围是：
－≤k≤－或者≤k≤
学习体验】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“δ”已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例5 已知时，求x,y. （参考公式）
思维展示】二元满足的关系式，如何确定二变量的值？
只有配方利用非负数之和确定。
注意公式的信息迁移，用二倍角公式再配方切入，由，，而两个非负数之和为零，.
学习体验】二元变量满足的关系式，只有用配方法化归为非负数之和才能确定其大小。
例6已知抛物线，过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点a、b，. 求a的取值范围； 若线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求三角形nab面积的最大值。
思维展示】直线和圆锥曲线位置的研究方法“设而不解，整体思维”，弦长公式只有用配方法，才能用韦达定理整体处理。依题意巧设直线ab所在方程为与联立化简有，.由直线与该抛物线交于不同的两点a、b，则，解得， 设，用配方法和点在直线上表示弦长则ab的垂直平分线为，即，令，则n，三角形nab的高，则，而，由一次函数的单调性知，时，三角形nab有最大值为
实战演练】1 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为___
a. 8 b. c. d.最小值不存在。
2 α、是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +1)的最小值是___
a. b. 8 c. 18 d.不存在。
3 化简：2＋的结果是___
a. 2sin4 b. 2sin4－4cos4 c. －2sin4 d. 4cos4－2sin4
4 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为。
a. 2bc. 5d.
5 设f和f为双曲线－y＝1的两个焦点，点p在双曲线上且满足∠fpf＝90°，则△fpf的面积是。
6 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为。
7 已知〈β 8设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c，给定m、n（m0；② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。 9 设s>1，t>1，m∈r，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),1)将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 10 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋ 速解“一点通” 1 重新整理关于变量x再配方，顶点处取得最小值，选c； 2 注意实根条件由判别式解出范围，凑用韦达定理和求最值都用配方法易有3 注意平方和的特点，升次配方有2＋,选c； 4设长方体长，宽，高分别为x,y,z，则，而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得长方体所求对角线长为：＝＝5，所以选b； 5 用定义需配方出现两焦半径之积可得面积为1； 6 配方凑用均值不等式，f(x)＝x＋2x＋为所求的最值； 7 凑角变换，用同角关系中体现配方，易求sin2α= 8 注意已知的条件配方为于是，是方程的两根，则 f(x)＝ax＋bx＋c，（1） 2）假设存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ，综上讨论知存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0； 7 反证法。反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不只一种 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为 1 反设 ... 高中。数列解题方法及综合。高考递推数列分类。类型1 渗透三角函数周期性。数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1 2008年湖南卷，18，满分12分 数列满足a1 1，a2 2，求a3，a4,并求数列的通项公式 本... 第二轮讲练思维方法 求异思维。所谓求异思维是一种不依常规 寻求变异 从多方面探索答案的思维形式 求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套 标新立异 不拘一格的特点 因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性 灵活性和独特性 在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面 一 变换思维方向。... 化抽象为具体 抽象函数问题转化方法。抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神 实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。2005高考北京卷 辽宁卷 广东卷等各有一个抽象函数解答题，同样2006高考重庆卷 辽宁卷 安徽卷等也出现抽... 数学，在同学们的学习生涯中始终充当着考试和升学的主力军，小升初数学是重点考查对象，初升高数学更是重点考查对象，而高考中对于数学地位的要求就更显重要了，针对于如此重要的学科，我们应该如何学习，如何准备呢。首先，要审清楚题。审题是正确解题的关键，是对题目进行分析 综合 寻求解题思路和方法的过程，审题过程... 1.判别单向晶闸管的阳极 阴极和控制极。脱开电路板的单向晶闸管，阳极 阴极和控制极3个引脚一般没有特殊的标注，识别各个脚主要是通过检测各个引脚之间的正 负电阻值来进行的。晶闸管各个引脚之间的阻值都较大，当检测出现唯一一个小阻值时，此时黑表笔接的是控制极 g 红表笔接的是阴极 k 另外一个引脚就是阳极... 专题四 函数与方程思想。考情分析 纵观近几年的高考试题，函数的主干知识 知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20 左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种... 函数综合题分类复习。题型一 关于函数的单调区间 若单调区间有多个用 和 字连接或用 逗号 隔开 极值，最值 不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令得到两个根 第二步 列表如下 第三步 由表可知 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种 第一种 变更主元 即关于...初中数学常用解题方法总结
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