第二轮讲练思维方法·求异思维。
所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式．求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点．因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性．
在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面．
一)变换思维方向。
解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步．这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景．
例1 已知点a(1，-1)、b(7，2)，以a为圆心、8为半径作⊙a，以b为圆心，6为半径作⊙b，求这两个圆外公切线交点p的坐标．
分析】 如图1－4．解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标．但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境．如果能换一个角度思考，联想到公切。
径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解．
解】 如图1－4，设m、n是一条外公切线与两个圆的切点，连结ab、bp，则a、b、p三点共线，再连结am、bn，则am⊥mp、bn⊥mp．
bn∥am．
设点p的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得。
故点p的坐标为(25，11)．
例2 如图1－5，直线y=kx＋b与圆x2+y2=1交于b、c两点，与双曲线x2-y2=1交于a、d两点，若b、c恰好是线段ad的三等分点，求k与b的值．
分析】 如图1－5，解本题的自然思路是，由|ab|=|bc|=|cd|入手，先计算出|ab|、|bc|、|cd|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值．但由于线段ab、cd的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦．如果变换思考角度，由|ab|=|cd|出发，可得线段bc与ad的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再。
解】 如图1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得。
1+k2)x2+2bkx+b2-1=0 ①
从而由韦达定理，得。
把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得。
1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②
|ab|=|cd|， ad与bc的中点重点．
解之，得k=0或b=0．
当k=0时，方程①化为x2=1-b2，二)一题多解。
在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式．
例3 已知直线l过坐标原点，抛物线c的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点a(-1，0)和点b(0，8)关于l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程．(2023年全国高考理科试题)
分析1】 设直线l的方程为y=kx，抛物线c的方程为y2=2px(p＞0)，先求出a、b关于l对称的点a′、b′的坐标(用k表示)，再代入抛物线c的方程中，可得k、p的方程组，最后解方程组即可．
解法1】 如图1－6．由已知可设抛物线c的方程为。
y2=2px(p＞0)．
由于直线l不与两坐标轴重合，故可设l的方程为。
y＝kx(k≠0)．
设a′、b′分别是a、b关于l的对称点，则由 a′a⊥l可得直线aa′的方程为。
将①、②联立，解得线段aa′的中点m的坐标为。
分别把a′、b′的坐标代入抛物线c的方程中，得。
由③÷④消去p，整理，得。
k2-k-1=0． ⑤
又由④知k＞0． ⑥
分析2】 如图1－7，设直线l的倾斜角为α，则l的斜率为。
用α的三角函数表示点a′、b′的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1．
l的斜率为k．
|oa′|=oa|=1，ob′|=ob|=8，∠xoa′=-2α)，由三角函数的定义，得a′的坐标为。
xa=|oa′|cos∠xoa′=-cos2α，ya=|oa′|sin∠xoa′=-sin2α
以下同解法1，从略．
又|ob′|=8，|oa′|=1，从而此题可设极坐标方程去解．
解法3】 如图1－7，以o为极点，ox为极轴建立极坐标系，把x=ρcosθ代入方程y2=2px(p＞0)中，得抛物线的坐标方程为。
由已知可设点b′的极坐标为(8，α)a′的极坐标为(1， 直线l平分∠bob′，8，oa′⊥ob′列出p、t1、t2的方程组，进而去求解．
|oa′|=oa|=1，|ob′|=ob|=8，又由oa′⊥ob′，得koa·kob=-1，分析5】 如图1－7，由于|oa′|=1，|ob′|=8，∠a′
解法5】 如图1－7．把直角坐标系视为复平面，设点a′
得点b′对应的复数为(x1＋y1i)8i=-8y1+8x1i．
点a′、b′的坐标为。
x1，y1)、(8y1，8x1)．
把它们分别代入抛物线c的方程y2=2px(p＞0)中，得。
即koa'=-2，又|oa′|=1，以下同解法4，从略．
分析6】 本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解．
数乘法的几何意义，得。
由复数相等的条件，得。
消去p，解得t2=2．
从而b′的坐标为(8p，4p)．
线段bb′的中点c的坐标为(4p，2p＋4)，分析7】 在解法5中，利用复数乘法的几何意义，发现了a′、b′坐标之间的关系式，从而获得简解．如图1－8，点b′与点a′的坐标关系也可用平面几何法得到．
解法7】 如图1－8，作a′c⊥ox于c，b′d⊥ox于d．设a′、b′的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
∠b′od＋∠a′oc=90°， rt△a′co∽rt△odb′．
又|oa′|＝1，|ob′|=8， |od|＝8|a′c|，|b′d|＝8|oc|．
于是x2=-8y1，y2=8x1．
以下同解法5，从略．
解说】 本例给出了七种解法．解法1是本题的一般解法，它的关键是求点a、b关于l的对称点的坐标．解法2是三角法，它。
法3是极坐标法，巧妙利用了a′、b′的特殊位置．解法4是利用抛物线的参数方程去解的．解法5和解法7是从寻找a′、b′的坐标关系式入手的，分别用复数法和相似形法获解．解法6把参数法与复数法结合起来，体现了思维的灵活性．总之，本例运用了解析几何的多种方法，是对学生进行求异思维训练的极好例题．
三)逆向思维。
在人们的思维活动中，如果把a→b的思维过程看作正向思维的话，那么就把与之相反的思维过程b→a叫做逆向思维．
在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维．因此，为了培养思维的多向性和灵活性，就必须加强逆向思维训练．在解题遇到困难时，若能灵活地进行逆向思维，往往出奇制胜，获得巧解．
在解析几何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的概念和逆用圆锥曲线的定义．
例4 设a、b是两个实数，a=，b=，c=是平面xoy内的点焦，讨论是否存在a和b，使得：(1)a∩b≠；(2)(a，b)∈c．(2023年全国高考理科试题)
解】 由已知可得，a、b是否存在等价于混合组。
以上二式的几何意义是：如图1－9，在平面ao′b中，na＋b=3(n2＋5)是直线，a2＋b2≤144是圆面(即圆x2＋y2=144的边界及其内部)．因此，这个混合组有解的充要条件是直线na＋b=3(n2+5)与圆a2＋b2=144有公共点，即圆心o′(0，0)到这条直线的距离d≤12．
即(n2＋5)2≤16(n2+1)， n4-6n2+9≤0，即(n2-3)2≤0．
又(n2-3)2≥0， n2=3．这与n是整数矛盾．
故满足题中两个条件的实数a、b不存在．
解说】 这种解法中，把混合组翻译成几何语言(直线和圆面是否有公共点)就是解析法的逆向思维．教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实，“难就难在逆向思维”，普遍认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维”．
习题1．21．已知圆c1：(x＋1)2＋(y-2)2=4与圆c2：(x-3)2+(y-4)2=25，求它们外公切线交点p的坐标．
2．已知直线l过点p(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程．(要求至少5种解法)
要求至少4种证法)．(2023年全国高考理科试题)
4．长度为3的线段ab的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段ab的中点为m，求点m到y轴的最短距离，并求此时点m的坐标．(要求至少4种解法)．(2023年全国高考理科试题)
5．已知2a＋3b=5，求证：直线ax+by-5=0必过一个定点．
7．已知三个集合m=｛(x，y)|y2=x＋1｝，s=｛(x，y)|4x2＋2x-2y＋5=0｝，p=｛(x，y)|y=ax＋m｝，问是否存在正整数a、m使得(m∪s)∩p=？(其中表示空集)
习题1．2答案或提示。
3．证法1：设a、b的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，pa|=r，则圆p的方程为(x-x0)2＋y2=r2，与椭圆方程联立，消去y，得。
把a、b的坐标代入椭圆方程中，后把所。
、(ρ2，θ2)，点p的坐标为(t，0)，则t=x0＋c．由|pa|=|pb|，可得。
5．逆用点在直线的概念，得定点为(2，3)．
6．在直角坐标系中，由已知两个等式可知，直线ax＋by=c过点。
重合的条件，可证得结论．
也无实数解．故a=1，m=2．
高中理科数学解题方法篇 数列
高中。数列解题方法及综合。高考递推数列分类。类型1 渗透三角函数周期性。数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1 2008年湖南卷，18，满分12分 数列满足a1 1，a2 2，求a3，a4,并求数列的通项公式 本...
高中理科数学解题方法篇 抽象函数
化抽象为具体 抽象函数问题转化方法。抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神 实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。2005高考北京卷 辽宁卷 广东卷等各有一个抽象函数解答题，同样2006高考重庆卷 辽宁卷 安徽卷等也出现抽...
高中理科数学解题方法篇 函数与导数 1
函数综合题分类复习。题型一 关于函数的单调区间 若单调区间有多个用 和 字连接或用 逗号 隔开 极值，最值 不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决 第一步 令得到两个根 第二步 列表如下 第三步 由表可知 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种 第一种 变更主元 即关于...