常见递推数列通项的求解方法。
高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一:(可以求和)累加法。
例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列的通项公式。
解析: 上述个等式相加可得:
评注:一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加。
类型一专项练习题:
1、已知,()求。
2、已知数列, =2, =3+2,求。
3、已知数列满足,求数列的通项公式。
4、已知中,,求。
5、已知,求数列通项公式。
6、 已知数列满足求通项公式?()
7、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
8、 已知数列满足,求数列的通项公式。
9、已知数列满足,,求。
10、数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.
)求的值c=2
)求的通项公式。
11、设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用表示这条直线交点的个数,则 5 ;
当时, (用表示).
类型二: (可以求积)累积法。
例1、在数列中,已知有,()求数列的通项公式。
解析: 又也满足上式;
评注:一般情况下,累积法里的第一步都是一样的。
类型二专项练习题:
1、 已知, (求。
2、已知数列满足,,求。
3、已知中,,且,求数列的通项公式。
4、已知, ,求。
5、已知,求数列通项公式。
6、已知数列满足,求通项公式。
7、已知数列满足,求数列的通项公式。
8、已知数列,满足a1=1, (n≥2),则的通项
9、设是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …求它的通项公式。
10、数列的前n项和为,且,=,求数列的通项公式。
类型三: 待定常数法。
可将其转化为,其中,则数列为公比等于a的等比数列,然后求即可。
例1 在数列中,,当时,有,求数列的通项公式。
解析:设,则。
于是。是以为首项,以3为公比的等比数列。
类型三专项练习题:
1、 在数列中,,,求数列的通项公式。
2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
3、已知数列中,a=1,a= a+ 1求通项a.
4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式。
5、在数列中,求。
6、已知数列满足求数列的通项公式。
7、设二次方程x-x+1=0(n∈n)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
1)试用表示a;
2)求证:数列是等比数列;
3)当时,求数列的通项公式。
8、在数列中,为其前项和,若,,并且,试判断是不是等比数列? 是。
类型四: 可将其转化为---的形式,列出方程组,解出还原到(*)式,则数列是以为首项,为公比的等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出。
例1 在数列中,,,且求数列的通项公式。
解析:令。得方程组解得。
则数列是以为首项,以2为公比的等比数列。
评注:在中,若a+b+c=0,则一定可以构造为等比数列。
例2 已知、,,求。
解析:令,整理得。
两边同除以得,令,
令,得。故是以为首项,为公比的等比数列。
即,得。类型四专项练习题:
1、已知数列中,, 求。
2、 已知 a1=1,a2=, 求数列{}的通项公式。
3、已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;
设数列,求证:数列是等差数列;
求数列的通项公式及前项和。
4、数列:,,求数列的通项公式。
类型五: (且)
一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。
例1 设在数列中,,求数列的通项公式。
解析:设。展开后比较得。
这时。是以3为首项,以为公比的等比数列。
即, 例2 在数列中,,求数列的通项公式。
解析: 两边同除以得是以=1为首项,2为公差的等差数列。
即。例3 在数列中,,求数列的通项公式。
解析:在中,先取掉,得。
令,得,即;
然后再加上得 ;
两边同除以,得。
是以为首项,1为公差的等差数列。
评注:若中含有常数,则先待定常数。然后加上n的其它式子,再构造或待定。
例4 已知数列满足,求数列的通项公式。
解析:在中取掉待定。
令,则。 ;再加上得,整理得:,令,则。
令 ;即;数列是以为首项,为公比的等比数列。
即;整理得。
类型5专项练习题:
1、设数列的前n项和,求数列的通项公式。
2、已知数列中,点在直线上,其中。
1) 令求证:数列是等比数列;
2) 求数列的通项。
3、已知,,求。
4、设数列:,求。
5、已知数列满足,求通项。
6、在数列中,,求通项公式。
7、已知数列中,,,求。
8、已知数列{a},a=1, n∈n,a= 2a+3 n ,求通项公式a.
9、已知数列满足,求数列的通项公式。
10、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式
11、已知数列满足,求。
12、 已知数列满足,,求数列的通项公式。
13、已知数列满足,求数列的通项公式。
14、 已知,,求。
15、 已知中,,,求。
16、已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;
设数列,求证:数列是等差数列;
求数列的通项公式及前项和。
类型六:()倒数法。
例1 已知,,求。
解析:两边取倒数得:,设则;
令;展开后得,;;
是以为首项,为公比的等比数列。
即,得;评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。
类型六专项练习题:
1、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
2、已知数列{}满足时,,求通项公式。
3、已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。
4、设数列满足求。
5、已知数列{}满足a1=1,,求。
6、 在数列中,,求数列的通项公式。
7、若数列{a}中,a=1,a= n∈n,求通项a.
类型七: 例1 已知数列前n项和。
求与的关系2)求通项公式。
解析: 时,,得;时,;得。
2)在上式中两边同乘以得;
是以为首项,2为公差的等差数列;
得。类型七专项练习题:
1、数列的前n项和为sn,a1=1,an+1=2sn.求数列的通项an。
2、已知在正整数数列中,前项和满足,求数列的通项公式。
3、已知数列的前n项和为sn = 3n – 2, 求数列的通项公式。
4、设正整数的前n项和sn =,求数列的通项公式。
5、如果数列的前n项的和sn =,那么这个数列的通项公式是an = 2·3n
6、已知无穷数列的前项和为,并且,求的通项公式。
类型八:周期型。
例1、若数列满足,若,则的值为。
解析:根据数列的递推关系得它的前几项依次为:
我们看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期;
评注:有些题目,表面看起来无从下手,但你归纳出它的前几项后,就会发现规律,出现周期性,问题就迎刃而解。
类型八专项练习题:
1、已知数列满足,则= (b )
a.0 b. c. d.
2、在数列中4
类型。九、利用数学归纳法求通项公式。
例1 已知数列满足,求数列的通项公式。
解析:根据递推关系和得,
所以猜测,下面用数学归纳法证明它;
时成立(已证明)
假设时,命题成立,即,则时, =
时命题成立;
由可知命题对所有的均成立。
评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。
类型九专项练习题:
1. 设数列满足:,且,则的一个通项公式为 ,2、已知是由非负整数组成的数列,满足,,(n=3,4,5…)。
1)求; 2
2)证明(n=3,4,5…);数学归纳法证明)
3)求的通项公式及前n项的和。;
3、已知数列中=,。
1) 计算。
2) 猜想通项公式,并且数学归纳法证明。
递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法,或是转化为等差或等比数列的方法解决;再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决,同学们应归纳、总结它们的规律,通过练习,巩固掌握它。
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