函数综合题分类复习。
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）--题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：
关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值---题型特征恒成立。
恒成立；参考例4；
例1.已知函数，是的一个极值点．
ⅰ）求的单调递增区间；
ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
例2.已知函数的图象过点。
ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式；
ⅱ）若，求函数的单调区间。
例3.设。1）求在上的值域；
2）若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。
例4.已知函数图象上一点的切线斜率为，ⅰ）求的值；（ⅱ当时，求的值域；
ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
例5.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围。
例6.已知函数，在时有极值0，则 。
例7.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
1） 若函数在处有极值，求的解析式；
2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．
答案：1、解是的一个极值点，是方程的一个根，解得。
令，则，解得或。
∴函数的单调递增区间为，.
ⅱ）∵当时，时，在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增。 ∴是在区间[1，3]上的最小值，且。 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得。
2、解：（ⅰ由题意知，得 ．
由解得或，由解得． …10
的单调增区间为：和；
的单调减区间为： ．12分。
3、解：(1)法一：(导数法) 在上恒成立。
∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。
法二： ,复合函数求值域。
法三：用双勾函数求值域。
(2)值域[0,1]，在上的值域。
由条件，只须，∴.
特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2023年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；
4、解：（ⅰ解得。
ⅱ）由（ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又。
∴的值域是。
ⅲ）令。要使恒成立，只需，即。
1）当时解得；
2）当时 ；
3）当时解得；综上所述所求t的范围是。
特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；
5、解：（ⅰ
令=0,得
因为，所以可得下表：
因此必为最大值，∴因此，即。
ⅱ）∵等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
（ 特别说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）
7、解：∵，由有，即切点坐标为，
切线方程为，或………2分。
整理得或，解得，∴，
1）∵，在处有极值，∴，即，解得8分。
2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴
的取值范围是
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；
1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：
第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；
第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；
第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；
特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；
2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤。
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例8．已知函数，，且在区间上为增函数．
1） 求实数的取值范围；
2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
例9.已知函数。
（i）讨论函数的单调性。
（ii）若函数在a、b两点处取得极值，且线段ab与x轴有公共点，求实数a的取值范围。
例10．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．
ⅰ)求导数(x)；
ⅱ)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
ⅲ)若f(x)在(－∞2]和[2，＋∞上都是递增的，求a的取值范围。
例11.已知：函数。
）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，求实数的关系式；
）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围。
例12．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时， 的极小值为．
ⅰ）求的解析式；
ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例13．在函数图像在点（1，f（1））处的切线与直线平行，导函数的最小值为－12。
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程解的情况（相同根算一根）。
例14．已知定义在r上的函数，当时，取得极大值3，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为m.请判断函数的零点个数。
例15.已知函数的单调减区间为（0，4）
（i）求的值；
（ii）若对任意的总有实数解，求实数的取值范围。
例16.已知函数是常数，且当和时，函数。
取得极值。ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围。
例17.已知函数正项数列满足：，，点在圆上， ks5u
ⅰ）求证：；
ⅱ）若，求证：是等比数列；
ⅲ）求和：
例18.函数（、为常数）是奇函数。ks5u
ⅰ）求实数的值和函数的图像与轴交点坐标；
ⅱ）设，，求的最大值。
例19.已知f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2．
若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；
若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
例20. 设函数，，当时，取得极值。
1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围。
例21.已知在r上单调递增，记的三内角a、b、c的对应边分别为a、b、c，若时，不等式恒成立．
ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ求角的取值范围；（ⅲ求实数的取值范围。
答案：8解：（1）由题意∵在区间上为增函数，在区间上恒成立。
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
2）设，令得或由（1）知，当时，，在r上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得。
综上，所求的取值范围为。
9、解：（1）
当a>0时，递增；
当a《时，递减5分。
2）当a>0时。
此时，极大值为………7分。
当a<0时。
此时，极大值为因为线段ab与x轴有公共点所以解得
10、解：（ⅰ
ⅱ）由，由得或x=又。
在[-2，2]上最大值，最小值8分。
ⅲ），由题意知。
11、解：（）设切点， ,因为存在极值点，所以，即---4分）
）因为，是方程的根，所以6分)
； 在处取得极大值，在处取得极小值。
函数图像与轴有3个交点， ，
12解：（ⅰ设其图像关于原点对称，即得。
则有由 ， 依题意得
由①②得故所求的解析式为8分。
ⅱ）由解得：或10分。
∴时，函数单调递增12分。
设是时，函数图像上任意两点，且，则有。
过这两点的直线的斜率。
13、解：（1）
又直线。2）由（1）知，列表如下：
所以，函数f（x）的单调增区间是和。
14、解：（1）由得c=1得。
2）得，时取得极值。由， 得∴. 当时，， 在上递减。 又∴函数的零点有且仅有1个
15、解：（i）又………4分。
（ii）且。
………12分。
16、解：（ⅰ依题意，即解得∴
ⅱ）由（ⅰ）知，曲线与有两个不同的。
交点，即在上有两个不同的实数解…5分。
设，则， 由0的或。
当时，于是在上递增；
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