第三讲函数与不等式问题。
考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质．
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．
8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．
9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．
10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．
11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
例题解析】1.函数的定义域及其求法。
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一。这里主要帮**生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题。
例1．已知函数的定义域为m，g(x)=的定义域为n，则m∩n=
（a）（b） （c） （d）
命题意图： 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法。
解：函数的定义域m= g(x)=的定义域n=∴m∩n=．
故选c例2.函数的定义域是( )
a）(3,+∞b）[3, +c）(4, +d）[4, +
命题意图： 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法。
解：由，故选d.
2.求函数的反函数。
求函数的反函数，有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域，以及函数概念的理解。
例3．函数的反函数是（ ）
ab） cd）
命题意图： 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法。
故选c.例4．已知函数的反函数是，则。
命题意图： 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识。
解：与比较得6，
故填。3.复合函数问题。
复合函数问题，是新课程、新高考的重点。此类题目往往分为两类：一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值。二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域。
例5．对于函数①，②判断如下两个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
命题意图： 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力。
解：是偶函数，又函数开口向上且在上是减函数，在上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有．
故选ｃ例6．函数对于任意实数满足条件，若则。
命题意图： 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力。
解：由，得，所以，则。
4.函数的单调性、奇偶性和周期性。
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样。 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象。
例7．已知函数，若为奇函数，则___
命题意图： 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用。
常规解法：由f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0,即。
应填。巧妙解法：因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0,即应填。
点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数，所以f(0)=0,这一重要结论。
例8．，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
a．充要条件b．充分而不必要的条件。
c．必要而不充分的条件 d．既不充分也不必要的条件。
命题意图： 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识。
解先证充分性：因为，均为偶函数，所以，有。
所以为偶函数．
反过来，若为偶函数， 不一定是偶函数．如， ，故选b.
方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．
故选b点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证．
5.函数的图象与性质。
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用。因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质。此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想。
例9．函数y=1+ax(0
abcd）命题意图： 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识。
解：∵y=1+ax(0故选a.
6. 函数综合问题。
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样。 这里主要帮**生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力。
例10．已知。
ⅰ）若k = 2，求方程的解；
ⅱ）若关于x的方程在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明。
命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15分。
（i）解：当。
分两种情况讨论：
①当， 方程化为。
②当， 方程化为1+2x = 0， 解得，由①②得，（ii）解：不妨设，因为。
所以是单调递函数，故上至多一个解，方法一：
方法二：因为； ①
因为， ②由①②消去k，得。
7.以集合为背景的不等式。
以集合为背景的不等式，以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合，准确解题。
例11. 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
）若，求；）若，求正数的取值范围．
命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法。
解：（）由，得．
由，得，又，所以，即的取值范围是．
8.以线性规划形式出现的不等式。
以线性规划形式出现的不等式，重在考查数形结合的解题能力。这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形，分析求解。
例12.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是。
a） （b） （c） （d）
命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力。
解：作图可知三角形区域在第一象限。即满足。
故选(a)9..以简易逻辑为背景的不等式。
以简易逻辑为背景的不等式，解题时往往以不等式为工具，来确定命题，用简易逻辑知识解决问题。
例13.设，则是的。
a）充分不必要条件b）必要不充分条件。
c）充要条件d）既不充分也不必要条件。
命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力。
解： 由题设可得：
故选(a)10.与函数知识结合的不等式。
与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具， 结合函数知识，通过推理来解决问题。
例14.设。
a）0b）1c）2d）3
命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力。
解：故选(c)
12.与平面向量知识结合的不等式。
与平面向量知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具， 结合平面向量知识和坐标运算，通过和坐标运算和推理来解决问题。
例15.设， ,点是线段上的一个动点， ,若，则实数的取值范围是。
ab）cd）
命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力。
解：设p(x,y),则由得，又点是线段上的一个动点，
故选(b)13.与函数的导数知识结合的不等式。
与函数的导数知识结合的不等式，解题时往往以不等式和函数的导数为工具， 结合函数知识，通过推理来解决问题。
例16. 已知函数在与时都取得极值。
1) 求、的值及函数的单调区间；
2) 若对，不等式恒成立，求的取值范围。
命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力。
解： 所以函数的递增区间为与；递减区间为。
14.与数列知识结合的不等式。
与数列知识结合的不等式，解题时往往以不等式和数列知识结合为工具， 结合函数知识，通过计算和推理来解决问题。
例17. 设数列的前项和为，点均在函数的图像上。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。
命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。
解：（i）依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5.
所以。ii）由（i）得，故=.
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10.
15.不等式的实际应用。
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