高中。数列解题方法及综合。
高考递推数列分类。
类型1：渗透三角函数周期性。
数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。
例1（2023年湖南卷，18，满分12分）
数列满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列的通项公式；
本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。
例2（2023年江西，文，21，满分12分）
数列的通项，其前n项和为。
1）求sn；
2）令，求数列的前n项和tn
例3（2023年江西，理8，5分）
数列的通项，其前n项和为sn，则sn为（ ）
a．470b．490c．495d．510
类型2：an+1=an+f(n)
解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解。
例4（2008，江西，理5）
在数列中，a1=2,an+1=an+ln,则an=
a．2+lnn b．2+(n-1) lnnc．2+nlnn d．1+n+lnn
例5（2009，全国i，理22）
在数列中，a1=1,an+1=
1）设，求数列的通项公式；
2）求数列的前n项和。
类型3：an+1=f(n)an
解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。
例6（2004，全国i，理15）
已知数列，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+n－1)an－1(n≥2)，则的通项an=__
解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+…+n－1)an－1+nan，用此式减去已知式，得。
当n≥2时，an+1－an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1
类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p－1)≠0）
解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。
例7（2023年，安徽，文21）
设数列满足a1 =a,an +1=c an +1－c,n∈n*，其中a、c为实数，且c≠0
求数列的通项公式；
解：方法一：
因为an+1－1=c(an－1)
所以当a≠1时，是首项为a－1，公比为c的等比数列。
所以an－1=( an－1)cn－1
即an=( an－1)cn－1+1
当n=1时，an=1仍满足上式。
数列的通项公式为an=( a－1)cn－1+1 (n∈n*)
方法二：由题设得：n≥2时， an－1=c( an－1－1)=c2 (an－2－1)=…cn－1(an－1)= a－1)c n－1
所以an=( a－1)=c n－1+1
n=1时，a1=a也满足上式。
所以的通项公式为an=( a－1)cn－1+1 (n∈n*)
类型4的变式：an+1=pan+f(n)
解法思路：通过构造新数列，消去f(n)带来的差异，例如下面的。
类型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）
解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列。
例8（2006，全国i，理22，12分）
设数列的前n项的和。
求首项a1与通项an。
例9（2009，全国ii，理19）
设数列的前n项的和。
1）设，证明数列是等比数列；
2）求数列的通项公式。
类型6：（其中p，q均为常熟）。
解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s, t满足。
解法二（特征根法）：对于由递推公式，=,给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中a、b由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于a、b的方程组）；当时，数列的通项为，其中a、b由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于a、b的方程组）。
例10（2006，福建，文22）
已知数列满足=1,=3，（）
1）证明：数列是等比数列；
2）求数列的通项公式；
3）若数列满足（），证明是等差数列。
解：（1），1,=3，），是以=2为首项，2为公比的等比数列。
2）（）an
类型7 递推公式为sn与的关系式（或sn）
解法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。
例11.（2009，湖北，理，19）
已知数列的前项和sn= -2（为正整数），令=，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式。
解：在sn= +2中，令n=1，可得s1 = 1=，当时，sn-1= +2，=snsn-1=+
2=+，即=+1
又=，=1，即当时，-=1
又=2=1数列是首项和公差均为1的等差数列，于是=n=,=
例12 （2008，全国ii，理，20）
设数列的前n项和为sn，已知=,=sn+（）设=-，求数列的通项公式；
ⅱ）若≥（）求的取值范围。
解（ⅰ）依题意-==即=2+，由此得-=2（-）因此，所求通项公式为。
ⅱ）由（ⅰ）知=+（3），（于是当时，-
a-3）--a-3）
2×+(a-3)
4×+(a-3)
=,当时，0
又=+3＞综上，所求的的取值范围是。
类型8 an+1=pan+an+b(p≠1,a≠0)
解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。
例13.（2006山东，文，22）
已知数列中，=，点在直线上，其中。
ⅰ）令，求证数列是等比数列；
ⅱ）求数列的通项。
所以是以为首项，以为公比的等比数列。
类型9 （p＞0, ＞0）
解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例14（2005，江西，理，21）
已知数列的各项都是正数，且满足：
求数列的通项公式。
例15（2006，山东，理，22）
已知，点在函数的图像上，其中证明数列。
是等比数列。
类型10 解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）
已知数列满足：
求数列的通项公式；
解：将条件变为：为一个等比例数，其首项为。
从而据此得。
类型11 解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且ph≠qr,r≠0, ）那么，可作特征方程，当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列；当特征议程有两价目相异的根x1、x2时，则是等比数列。
例19(2023年，江西，理，22)
各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有m,n,p,q都有。
1)当时，求通项；
2)证明：对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有。
解：（1）由得。
将代入上式化简得。
所以。故数列为等比数列，从而。
即。可验证，满足题设条件。
2）由题设的值仅与有关，记为。
则。考察函数，则在定义域上有。
故对，注意到，解上式得。
取，即有。类型12 数列中的数学归纳法。
数学归纳法是数学证明中的常用方法，适用于猜想证明和数列不等式的证明，在直接求解或者利用放缩法证明存在困难时，常可使用数学归纳法进行证明。
例21（2008，天津，理，22）
在数列中，数列的前n项和sn满足。
为的等比中项，ⅰ）求的值；
ⅱ）求数列的通项公式；
解：（ⅰ由题设有解得，由题设又有，解得。
ⅱ）由题设，及，，进一步可得，，猜想。
先证。当时，，等式成立，当时用数学归纳法证明如下：
1）当 n=2时，，即等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，即。由题设。
的两边分别减去②的两边，整理得，从而。
这就是说，当时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立。
综上所述，等式对任何的都成立。
再用数学归纳法证明，本题首先进行猜想，然后利用数学归纳法证明，先猜想再证明是求数列通项的常用手段，数学归纳法也是证明数列不等式的常用方法。
数列经典综合题。
等差数列与等比数列综合题。
例1 等比数列{}的前n 项和为，已知，成等差数列。
1）求{}的公比q；
2）求－＝3，求。
解：（ⅰ依题意有。
由于 ，故。
又，从而。（ⅱ）由已知可得故。
从而。例2 在正项数列中，令。
ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列，求；
ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立，求证为等差数列；
ⅰ）解：由题意得，所以=
ⅱ）证：令，则=1
所以=（1）,（2）,2）—（1）,得—=,化简得（3）
4）,（4）—（3）得
在（3）中令，得，从而为等差数列
例3 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列。
1）求q的值；
2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由。
解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am
2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1
在等比数列中，a1≠0，q≠0，2q2 = q +1，解得q = 1或。
（2）若q = 1， sm + sm+1 = ma1 + m+1) a1=(2m+1) a1，sm + 2 = m+2) a1
a1≠0，∴2sm+2≠s m + sm+1
若q =，sm + 1 =
sm + sm+1 =
2 sm+2 = s m + sm+1
故当q = 1时，sm , sm+2 , sm+1不成等差数列；
当q =时，sm , sm+2 , sm+1成等差数列。
高中理科数学解题方法篇 求异思维
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