例2.若p=，q=，则p∩q等于（ ）
a．p b．q c． d．不知道。
思路启迪：类似上题知p集合是y=x2（x∈r）的值域集合，同样q集合是y= x2＋1（x∈r）的值域集合，这样p∩q意义就明确了．
解：事实上，p、q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由p=,q=，知qp，即p∩q=q．∴应选b．
例3. 若p=，q=，则必有（ ）
a．p∩q= b．p q c．p=q d．p q
思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论p=q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈r相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，p集合是函数值域集合，q集合是y=x2,x∈r上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
解：正确解法应为： p表示函数y=x2的值域，q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此p∩q=．∴应选a．
例4（2023年安徽卷文）若，则= （
a． b． c． d．
思路启迪：
解：应选d．
点评：解此类题应先确定已知集合．
题型2．集合元素的互异性。
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若a=,b=，且a∩b=，则实数的值是___
解答启迪：∵a∩b=，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． a=，集合b中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当=1时， 2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，b=，与a∩b=相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，a=,b=，此时a∩b=，满足题设．
故=2为所求．
例6. 已知集合a=，b=．若a=b，则c的值是___
思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，0时，集合b中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．
c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，b中的三元素又相同，此时无解．
2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．
例7.已知集合a=,b=，且a∪b=a，则的值为___
思路启迪：由a∪b=a而推出b有四种可能，进而求出的值．
解： ∵a∪b=a， a=，∴b=或b=或b=或b=．
若b=，则令△<0得∈；
若b=，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若b=，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈
若b=则令△>0得∈r且≠2，把x=1代入方程得∈r，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
点评：本题不能直接写出b=，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合b有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法。
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合a=，集合b=，则集合a、b的关系是。
解：任设∈a，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈z)，
n∈z,∴n＋1∈z.∴∈b,故． ①
又任设 b∈b，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈z), k∈z,∴k－1∈z.∴ b∈a，故 ②
由①、②知a=b．
点评：这里说明∈b或b∈a的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
例9（2023年江苏卷）若a、b、c为三个集合，，则一定有（ ）
a . b . c . d .
考查目的]本题主要考查集合间关系的运算。
解：由知，，故选a.
2023年福建卷文）已知全集，且，，则等于 （ c ）
a． b． c． d．
例10．（2023年辽宁卷）设集合，则满足的集合b的个数是（ ）
a . 1 b .3 c .4 d . 8
考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。
解：，，则集合b中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合b共有个。故选c.
例11．（2023年北京卷文）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
）若，求；）若，求正数的取值范围．
思路启迪：先解不等式求得集合和．
解：（）由，得．
由，得，又，所以，即的取值范围是．
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用。
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知a=,b=且a∪b=a，则实数组成的集合c是。
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时， =2，当x=2时， =1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了b为非空集合，实际上，b=时，仍满足a∪b=a，当=0时，b=，符合题设，应补上，故正确答案为c=．
例13．（2023年北京卷理）已知集合，．若，则实数的取值范围是。
思路启迪：先确定已知集合a和b．
解： 故实数的取值范围是．
例14. 已知集合a=，若a∩=，则实数m的取值范围是。
思路启迪：从方程观点看，集合a是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由a∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
解：由a∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
点评：此题容易发生的错误是由a∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把a=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
例15.已知集合a=，集合b=．若ba，则实数p的取值范围是___
解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使ba，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即b=时，符合题设．
应有：①当b≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．
由ba得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
当b=时，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
点评：从以上解答应看到：解决有关a∩b=、a∪b=，ab等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
题型5．要注意利用数形结合解集合问题。
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16.设全集u=，b=．
例17.集合a=,b=，求a∪b和a∩b．
解：∵ a==，b==．如图所示，
a∪b=∪=r．
a∩b=∩=b=，已知a∪b=，a∩b=，且a∩b=， lg(lg10)，则{}与m的关系是（ ）
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