一、 函数定义与表达式。
1. 一般式：（，为常数，）；
2. 顶点式：（，为常数，）；
3. 交点式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
二、 函数图像的性质——抛物线。
1）开口方向——二次项系数。
二次函数中，作为二次项系数，显然．
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．iai越大开口就越小，iai越小开口就越大。
2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线。
一般式： 对称轴顶点式：x=h
两根式：x=
3）对称轴位置。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）
a与b同号（即ab＞0对称轴在y轴左侧
a与b异号（即ab＜0对称轴在y轴右侧
4）增减性，最大或最小值。
当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；
当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；
当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；
5）常数项c
常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。
6） a\b\c符号判别。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中a、b、c的符号判别：
1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；
2）c的符号判别由与y轴的交点来确定：若交点在x轴的上方，则c＞0；若交点在x轴的下方，则c＜0；
3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在y 轴的右侧，则a、b异号；
7）抛物线与x轴交点个数
= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
这两点间的距离。
= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 顶点在x轴上。
= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（ 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）
8）特殊的。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个交点或二次函数的顶点在x轴上，则。
=b2-4ac=0；
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在y轴上或二次函数的图象关于y轴对称，则b=0；
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；
三、平移、平移步骤：
1 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
2 左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。
随堂练：一、 选择题：
1、对于的图象下列叙述正确的是。
a 的值越大，开口越大
b 的值越小，开口越小。
c 的绝对值越小，开口越大。
d 的绝对值越小，开口越小。
2、对称轴是x=-2的抛物线是（ ）
a. .y= -2x2-8x b y= 2x2-2
c . y=2(x-1)2+3 d. y=2(x+1)2-3
3、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ）
a． b． c． d．
4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）
a．x＝4 b. x＝3 c. x＝－5 d. x＝－1。
5、抛物线的图象过原点，则为（ ）
a．0 b．1 c．－1 d．±1
6、把二次函数配方成顶点式为（ ）
a． b.
c． d．
7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
a.(0，0) b.(1，－2) c.(0，－1) d.(－2，1)
8、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
a． b．
c． d．
9、抛物线则图象与轴交点为。
a． 二个交点 b． 一个交点 c． 无交点 d． 不能确定。
10、二次函数。
的图象如图所示，则，，
这四个。式子中，值为正数的有（ ）
a．4个 b．3个 c．2个 d．1个。
二、填空题：
1、已知抛物线，请回答以下问题：
它的开口向对称轴是直线顶点坐标为。
2、抛物线过第。
二、三、四象限，则 0， 0， 0．
3、抛物线可由抛物线向平移个单位得到．
4、抛物线在轴上截得的线段长度是。
5、抛物线，若其顶点在轴上，则 ．
6、已知二次函数，则当时，其最大值为0．
7．二次函数的值永远为负值的条件是 0， 0．
8．已知抛物线与轴交于点a，与轴的正半轴交于b、c两点，且bc=2，s△abc=3，则。
三、解答。1、已知二次函数y=2x-4x-6 求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标。
2、已知抛物线与y轴交于c（0，c）点，与x轴交于b（c，0），其中c＞0，1） 求证： b＋1＋ac=0
2）若c与b两点距离等于，一元二次方程的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式。
四、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
随堂练：1、 已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；
2、 已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；
3、 已知抛物线的对称轴为直线x=2， 且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；
4、 已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；
5、 已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；
6、 抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与x轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；
7、 抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；
8．如图，在同一直角坐。
标系中，二次函数的图象。
与两坐标轴分别交于。
a（－1，0）、点b（3，0）
和点c（0，－3），一次函数。
的图象与抛物线交于b、c两点。
二次函数的解析式为。
当自变量时，两函数的函数值都随增大而增大．
3 自变量时，一次函数值大于二次函数值．
9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为。
10、对称轴是轴且过点a（1，3）、点b（－2，－6）的抛物线的解析式为。
11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式。
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响。
a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)
h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移：“左加/右减”)
k──顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴上下平移：“上加/下减”)
b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)
c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点)
特殊点纵坐标的位置：如(1，a+b+c)、(1，a-b+c)等。
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
的解是二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴交点的横坐标。
即。一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函。
数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即。
一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即。
七、二次函数的最值——看定义域。
定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最值；
定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值。
八、抛物线对称变换前后的解析式。
九。 二次函数常用解题方法总结：
求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
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