一、 函数定义与表达式。
1. 一般式:(,为常数,);
2. 顶点式:(,为常数,);
3. 交点式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化。
二、 函数图像的性质——抛物线。
1)开口方向——二次项系数。
二次函数中,作为二次项系数,显然.
当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.iai越大开口就越小,iai越小开口就越大。
2)抛物线是轴对称图形,对称轴为直线。
一般式: 对称轴顶点式:x=h
两根式:x=
3)对称轴位置。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。(“左同右异”)
a与b同号(即ab>0对称轴在y轴左侧
a与b异号(即ab<0对称轴在y轴右侧
4)增减性,最大或最小值。
当a>0时,在对称轴左侧(当时),y随着x的增大而减少;在对称轴右侧(当时),y随着x的增大而增大;
当a<0时,在对称轴左侧(当时),y随着x的增大而增大;在对称轴右侧(当时),y随着x的增大而减少;
当a>0时,函数有最小值,并且当x=,;当a<0时,函数有最大值,并且当x=,;
5)常数项c
常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c)。
6) a\b\c符号判别。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 中a、b、c的符号判别:
1)a的符号判别由开口方向确定:当开口向上时,a>0;当开口向下时,a<0;
2)c的符号判别由与y轴的交点来确定:若交点在x轴的上方,则c>0;若交点在x轴的下方,则c<0;
3)b的符号由对称轴来确定:对称轴在y轴的左侧,则a、b同号;若对称轴在y 轴的右侧,则a、b异号;
7)抛物线与x轴交点个数
= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
这两点间的距离。
= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 顶点在x轴上。
= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。( 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有; 当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.)
8)特殊的。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点或二次函数的顶点在x轴上,则。
=b2-4ac=0;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在y轴上或二次函数的图象关于y轴对称,则b=0;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则c=0;
三、平移、平移步骤:
1 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
2 左右平移变h,左加右减;上下平移变k,上加下减。
随堂练:一、 选择题:
1、对于的图象下列叙述正确的是。
a 的值越大,开口越大
b 的值越小,开口越小。
c 的绝对值越小,开口越大。
d 的绝对值越小,开口越小。
2、对称轴是x=-2的抛物线是( )
a. .y= -2x2-8x b y= 2x2-2
c . y=2(x-1)2+3 d. y=2(x+1)2-3
3、与抛物线的形状大小开口方向相同,只有位置不同的抛物线是( )
a. b. c. d.
4、二次函数的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( )
a.x=4 b. x=3 c. x=-5 d. x=-1。
5、抛物线的图象过原点,则为( )
a.0 b.1 c.-1 d.±1
6、把二次函数配方成顶点式为( )
a. b.
c. d.
7、直角坐标平面上将二次函数y=-2(x-1)2-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )
a.(0,0) b.(1,-2) c.(0,-1) d.(-2,1)
8、函数的图象与轴有交点,则的取值范围是( )
a. b.
c. d.
9、抛物线则图象与轴交点为。
a. 二个交点 b. 一个交点 c. 无交点 d. 不能确定。
10、二次函数。
的图象如图所示,则,,
这四个。式子中,值为正数的有( )
a.4个 b.3个 c.2个 d.1个。
二、填空题:
1、已知抛物线,请回答以下问题:
它的开口向对称轴是直线顶点坐标为。
2、抛物线过第。
二、三、四象限,则 0, 0, 0.
3、抛物线可由抛物线向平移个单位得到.
4、抛物线在轴上截得的线段长度是。
5、抛物线,若其顶点在轴上,则 .
6、已知二次函数,则当时,其最大值为0.
7.二次函数的值永远为负值的条件是 0, 0.
8.已知抛物线与轴交于点a,与轴的正半轴交于b、c两点,且bc=2,s△abc=3,则。
三、解答。1、已知二次函数y=2x-4x-6 求:此函数图象的顶点坐标,与x轴、y轴的交点坐标。
2、已知抛物线与y轴交于c(0,c)点,与x轴交于b(c,0),其中c>0,1) 求证: b+1+ac=0
2)若c与b两点距离等于,一元二次方程的两根之差的绝对值等于1,求抛物线的解析式。
四、二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用交点式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
随堂练:1、 已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0)求这个二次函数的解析式;
2、 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式;
3、 已知抛物线的对称轴为直线x=2, 且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式;
4、 已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式;
5、 已知抛物线通过三点(1,0),(0,-2),(2,3)求此抛物线的解析式;
6、 抛物线的顶点坐标是(6,-12),且与x轴的一个交点的横坐标是8,求此抛物线的解析式;
7、 抛物线经过点(4,-3),且当x=3时,y最大值=4,求此抛物线的解析式;
8.如图,在同一直角坐。
标系中,二次函数的图象。
与两坐标轴分别交于。
a(-1,0)、点b(3,0)
和点c(0,-3),一次函数。
的图象与抛物线交于b、c两点。
二次函数的解析式为。
当自变量时,两函数的函数值都随增大而增大.
3 自变量时,一次函数值大于二次函数值.
9、顶点为(-2,-5)且过点(1,-14)的抛物线的解析式为。
10、对称轴是轴且过点a(1,3)、点b(-2,-6)的抛物线的解析式为。
11、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式。
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响。
a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)
h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)
k──顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)
b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)
c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方;c<0时在x轴下方;c=0时必过原点)
特殊点纵坐标的位置:如(1,a+b+c)、(1,a-b+c)等。
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
的解是二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴交点的横坐标。
即。一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函。
数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围,即。
一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围,即。
七、二次函数的最值——看定义域。
定义域为全体实数时,顶点纵坐标是最值;
定义域不包含顶点时,观察图象确定边界点,进而确定最值。
八、抛物线对称变换前后的解析式。
九。 二次函数常用解题方法总结:
求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
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