2012年二附中数学联赛选拔考试。
年级姓名成绩。
一试考试时间（80分钟），满分120分。
一、填空题(本题共8道小题每小题8分，满分64分)
1 、求方程的实数解。
2、已知定义在r上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直
线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为。
3、长方体中，，，则异面直线与间的距离为。
4、扔6次股子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则。
5、设非零复数满足，则。
6、十个元素组成的集合．的所有非空子集记为。
每一非空子集中所有元素的乘积记为。则。
7、设a=，b=是直角坐标平面xoy上的点集。 则所成图形的面积是。
8、如图，已知⊙c的圆心c在抛物线x2=2py上(p>0)
运动，且⊙c过定点a(0,p),点m,n为⊙c 与x轴的。
交点。如果。则函数f(x)=的值域是。
二、解答题。
9、设是实数，证明：方程有4个实根的充要条件是
10、数列定义如下：且。
证明：对一切正整数是完全平方数。
11、设是大于1的整数。 求的最小值。 其中
表示正整数的最小公倍数。
年级姓名成绩。
二试。一、设的三边长边上的高为。
求证： 二、设求证：
三、设是正整数，是的正约数个数，是的所有正约数的和。求最大的实
数使得对所有整数都有。
四、求所有的正整数，使得存在个集合满足。
2010年二附中数学联赛选拔考试。
一试。考试时间（80分钟），满分120分。
一、填空题(本题共8道小题每小题8分，满分64分)
1 、求方程的实数解。
2、已知定义在r上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为。
答案：．由已知得，从而是周期为2的函数，当时，，其图象为椭圆的上半部分，当时，联立方程，利用解得，再结合函数的图象及周期性容易得出答案．
3、长方体中，，，则异面直线与间的距离为。
答案： 设与的距离为，则与面的距离也是，由条件知，到的距离为，
4、扔6次股子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则。
答案：1当时，概率为；
当时，，概率为；
当时，，概率为；
当时，，概率为；
当时，，概率为；
当时，概率为；
故，则，从而。
5、设非零复数满足，则 。
答案：4000
解析： 则且，又，设，则且，利用棣莫弗定理可知。
6、十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘积记为。则 -1
7、设a=，b=是直角坐标平面xoy上的点集。 则所成图形的面积是7
8、如图，已知⊙c的圆心c在抛物线x2=2py上(p>0)
运动，且⊙c过定点a(0,p),点m,n为⊙c 与x轴的。
交点。如果。则函数f(x)=的值域是。
解：设c(x0,y0),不妨设x0≥0,则⊙c的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2,取。
y=0得：(x-x0)2+y02=x02+(y0-p)2,因x02=2py0,所以(x-x0)2=p2,xm=x0-p,xn=x0+p,因x0≥0,所以，x2≤1,当x0>0时，所以，≤x≤1,因f(x)=在区间上是减函数，所以，2≤f(x)≤.即函数f(x)的值域为[2,].
二、解答题。
9、设是实数，证明：方程有4个实根的充要条件是
10、数列定义如下：且。
证明：对一切正整数是完全平方数。
11、设是大于1的整数。 求的最小值。 其中
表示正整数的最小公倍数。
答案。a题1.
证明：显然不是方程的根。
若方程有正根，则满足； ①
若方程有负根，则满足； ②
易知：若原方程有4个实根，则①有两不同正实根，②有两不同负实根。
故。 ③且有。
即。结合得可知①有两个不同正实根当且仅当同理。
可知②有两个不同负实根当且仅当。
综上，当且仅当时，①有两个不同正实根，②有两个不同负实根，从而原命题得证。
a题2：证：由题设得：24
两式相减得：
a题3：解：不妨设。
二试。一、设的三边长边上的高为。
求证： 二、设求证：
三、设是正整数，是的正约数个数，是的所有正约数的和。求最大的实
数使得对所有整数都有。
四、求所有的正整数，使得存在个集合满足。
b题1：证：（1）当。
由托勒密（ptolemy）定理。
b题2：证明：因为。
同理。于是只需证明：
不妨设则。从而由切比雪夫不等式即得。即。b题3
解：设是互不相同的素数，是正整数，则。
下证对所有得素数整数都有。
当时上式等号成立。 令记则。
当时，是严格递增的，又。
从而可知是严格递增的(当时)，于是。
令，则。故，综上所述，的最大值为。
4、解：不妨设，记，为i在**现的次数，，则。
若，不妨设如果有，.
由（2）知，所以剩下的4n个元素两两不同，从而有4n+1个不。
于是同的元素，与（3）矛盾！所以，不妨设，，且与。
的公共元素均不相同，故，这与（1）矛盾！综上知。同理可知，. 而，所以，从而。
另一方面，可以构造如下21个符合满足题意：
综上所述，.
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