数列高考知识点大扫描。
数列基本概念。
数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:
依定义域分为:有穷数列、无穷数列;
依值域分为:有界数列和无界数列;
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);
数列通项:
2、等差数列。
1、定义当,且时,总有,d叫公差。
2、通项公式
1)、从函数角度看是n的一次函数,其图象是以点为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。
2)、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。
又,相减得,即。
若 n>m,则以为第一项,是第n-m+1项,公差为d;
若n 3)、从发展的角度看若是等差数列,则,, 因此有如下命题:在等差数列中,若, 则。
3、前n项和公式
由,相加得还可表示为,是n的二次函数。
特别的,由可得。
3、等比数列。
1、 定义当,且时,总有 , q叫公比。
2、通项公式:, 在等比数列中,若, 则。
3、前n项和公式:
由, 两式相减,当时, ;当时 ,
关于此公式可以从以下几方面认识:
不能忽视成立的条件:。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。②公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如,公差为d 的等差数列, ,则,相减得,当时,,
当时 ,;3)从函数角度看是n的函数,此时q和是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表。
5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法:
公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如递推数列的基本方法,其中数列可求前n项和,即;累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法,其中数列可求前n项积,即。
第一节等差数列的概念、性质及前n项和。
题根一等差数列中, ,求s20
思路]等差数列前n项和公式:
1、 由已知直接求a1 ,公差d.
2、 利用性质。
解题 ] 由 , 得 ,。
收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
请你试试 1——1]
1、 等差数列 满足,则有 (
a、 b、 c、 d、
2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求。
第1变求和方法——倒序相加法。
变题1] 等差数列共10项, ,求sn.
思路] 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想sn公式推导方法。
解题] 已知,又,得 ,收获] 1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质:,快捷准确;
3、 求出后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
请你试试 1——2]
1、 等差数列共2k+1项,所有奇数项和为,所有偶数项和为,求: 的值。
2、 等差数列前n项和为18 ,若, ,求项数n .
3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。
4、 求和。
第2变已知前n项和及前m项和,如何求前n+m项和。
变题2] 在等差数列中,sn=a,sm=b,(m>n),求sn+m的值。
思路] 下标存在关系:m+n=m+n, 这与通项性质是否有关?
解题] 由sn=a,sm=sn+a n+1+an+2+……am=b 得 a n+1+an+2+……am =b-a,即 , 得
由(n+1)+m=1+(n+m得an+1+am=a1+am+n
故。请你试试 1——3]
1、在等差数列中,,,求 。
2、在等差数列中,,,求 。
第3变已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和。
变题3] 在等差数列中,,,求
思路] 由寻找之间的关系。
解题] 设数列公差为d
所以成等差数列,公差100d , 于是,得。
收获] 1、在等差数列中,成等差数列,即,,,成等差数列,且。
3、 可推广为,,…
[请你试试 1——4]
1、在等差数列中,,,求
2、在等差数列中,,,求
3、在等差数列中,,,求及。
4、数列中,,,求。
5、等差数列共有3k项,前2k项和 ,后2k项和,求中间k项和。
第4变迁移变换重视sx=ax2+bx 的应用。
变题4] 在等差数列中,sn=m,,sm=n,(m>n),求sn+m的值。
思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数,若所求问题与无关时,常设为s=an2+bn形式。
解题] 由已知可设 sn=an2+bn=m sm=am2+bm=n ,两式相减 ,得 a(n+m)(n-m)+b(n-m)=m-n , 又m>n , 所以,得 。
收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。
请你试试 1——5]
1、 在等差数列中,,,求
2、 在等差数列中,,,求
3、 在等差数列中,,,求当n为何值时,有最大值。
第5变归纳总结,发展提高。
题目] 在等差数列中,sn=a,sm=b,(m>n),求sn+m的值。(仍以变题2为例)
除上面利用通项性质求法外,还有多种方法。现列举例如下:
1、 基本量求解:
由,相减得,
代入得。2、利用等差数列前x项和公式sx=ax2+bx求解。
由sx=ax2+bx,得 sn=an2+bn, sm=am2+bm
两式相减 ,得 a(n+m)(n-m)+b(n-m)=a-b
即故。3、利用关系式求解。
由知与n成线性关系,从而点集中的点共线,即(n, )m, )m+n, )共线,则有即,化简, 得 , 即。
4、利用定比分点坐标公式求解。
由a(n, )b(m, )p(m+n, )三点共线,将点p看作有向线段的定比分点,则 ,可得,
即。请你试试 1——6]
若sn是等差数列的前n项和,s2=3,s6=4 ,则s12___
第二节等比数列的概念、性质及前n项和。
题根二等比数列 ,,求。
思路] 1、由已知条件联立,求,从而得。
2、由等比数列性质,知成等比数列。
解题1] 由, 两式相除,得 ,。
解题2] 由成等比,得 。
收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础;
2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。
请你试试2 ——1]
等比数列 ,,若,则___
第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列。
变题2] 等比数列 ,,求。
思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。
解题] 设,……则是等比数列,,,即。
收获] 等比数列 , 时,,…成等比数列,但总有。当k为偶数时,恒成立。
请你试试2——2]
1、等比数列 , 时,,求。
2、等比数列 , 时,,求。
第2变成等差,则成等差。
变题3] 等比数列 中,成等差,则成等差 。
思路] 成等差,得,要证等差,只需证。
解题]由成等差,得,当 q=1时, ,由得 ,。
由, 得 ,整理得 ,,得 ,两边同乘以, 得,即成等差。
收获] 1、等比数列 中,成等差,则成等差。
2、等比数列 中,成等差,则 (其中)成等差。
3、等比数列 中,成等差,则(其中)成等差。
请你试试2——3]
1、 等比数列 ,,成等差, 求的值。
2、等比数列 ,成等差,求证成等比。
第3变是等比,也是等比数列。
变题4]数列中, 且,是等比数列,公比 q ()求证 ()也是等比数列。
思路] ,欲证为等比数列,只需证为常数。
解题得,而,,,故从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。
第4变等比数列在分期付款问题中应用。
问题顾客购买一售价为5000元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?
(精确到1元)
分析一:设每期应付款x元,则。
第1次付款后,还欠 5000(1+0.8%)-x(元)
第2次付款后,还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
第3次付款后,还欠 (1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.
8%)10-……x(1+0.8%)-x=0 ,移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.
8%)11+x(1+0.8%)10+……x(1+0.8%)+x , 即
算得 (元)
一般地,购买一件售价为a元的商品,采用分期付款时,要求在m个月内将款还至b元,月利润为p,分n(n是m的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为 .
数列高考知识点归纳 非常全含答案
数列高考知识点大扫描。第一节等差数列的概念 性质及前n项和。例1 等差数列中,求s20 思路 等差数列前n项和公式 1 由已知直接求a1 公差d.2 利用性质。解题 由 得 收获 灵活应用通项性质可使运算过程简化。练习 1.等差数列 满足,则有 a b c d 2.等差数列中,a3 a7 a10 8...
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